1) x + 1/x. 1 - 1/x²
2) tan⁻¹ x. 1/(1+ x²)
3) ₑ√x. 1/2√x .ₑ√x
4) log(sin x). cot x
5) cos⁻¹(ₑ√(tanx).
6) (x²- 4x+3)/(x²+ 2x -3). at x=1. 3/8
7) 3x⁵+ 7x⁴ - 2x² - x +6. 15x⁴+28x³-4x-1
8) 1+ x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4!. 1+ x + x²/2! + x³/3!
9) √x + 2√x² + 3√x³ + 4√x⁴ + 5 √x⁵. 1/2√x + 2 + 9/2√x + 8x + 25/2. √x³
10) 5x³/⁵√x² - 3x/³√x⁴ + 7x/⁷√x² + 12 ⁴√x/³√x.
11) logₐx + logxᵃ + eˡᵒᵍ ˣ + log eˣ + e¹⁺ˣ. 1/x logₐe + a/x + 2+ e¹⁺ˣ.
12) x² log x. x + 2x log x
13) 10ˣ. x¹⁰. 10ˣ(10x⁹+ x¹⁰ log 10)
14) (x²+7)(x³+10). 5x⁴+ 20x+ 21x²
15) √x . eˣ.secx. eˣ.secx(1+ 2x + 2x tanx)/2√x
16) x secx log(xeˣ). secx[1+ x + +1+ x tanx)(x + log x)]
17) (1+ sinx)/(1- sinx). 2cosx/(1- sinx)²
18) (sinx + cosx)/√(1+ sin2x). 0
19) (cosx - cisèx)/(1- cosx). -2sinx
20) (x³- 2+ 1/x³)/(x -2+ 1/x). 2(x +1 - 1/x² - 1/x³)
21) (eˣ + e³ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ). e²ˣ/(1+ 2x)
22) y= tanx/x . Log(eˣ/xˣ). tanx/x + (1- log x) sec²x
23) √(2x) - √(2/x) +(x+4)/(4- x) at x= 2. 11/4
24) y= 1/(1+ xᵇ⁻ᵃ + xᶜ⁻ᵃ) + 1/(1+ xᵃ⁻ᵇ + xᶜ⁻ᵇ) + 1/(1+ xᵃ⁻ᶜ + xᵇ⁻ᶜ). 0
25) {¢(x)}ⁿ . n{{¢(x)}ⁿ⁻¹ ¢'(x)}
26) √(log x). 1/{2x√(logx)}
27) tan⁵x. 5 tan⁴x sec²x
28) (tan⁻¹x)². 2(tan⁻¹x)/(1+ x²)
29) ₑ(ax²+ bx+ c). (2ax+ b)ₑ(ax²+ bx+ c).
30) ₑ√(x+1) - ₑ√(x -1). ₑ√(x+1)/2√+x+1) - ₑ√(x -1)/2√(x -1).
31) ₇(x²+ 2x). 2(x+1)logₑ7. ₇(x²+ 2x)
32) log(ax²+ bx+ c). (2ax+b)/(ax²+ bx + c)
33) logₛᵢₙₓx . (log sinx - x cotx log x)/x(log sinx)²
34) logₑ(x + √(x²± a²)). 1/√(x²± a²)
35) f(x) = sin ¢(x). cos¢(x)¢'(x)
36) cos(ax + b). - a sin(ax + b)
37) sin x°. π/180 cosx°
38) sinx sin 2x sin 3x. 1/2 (cos2x + 2 cos4x - 3 cos6x)
39) sin⁻¹(x/a). 1/√(a²- x²)
40 cot⁻¹(cosecx + cot x). 1/2
41) log(cos x²). 2x tanx²
42) cot ⁻¹{√(1+ x²) - x}. 1/2(1+x²)
43) cos⁻¹{(1- x²)/(1+ x²)}. 2/(1+ x²)
44) sin⁻¹{2x/(1+ x²)}. 2/(1+ x²)
45) tan⁻¹{2x/(1- x²)}. 2/(1+ x²)
46) tan⁻¹{1/(x² -1)}. -1/{x√(x²-1)}
47) tan⁻¹{(3x - x³)/(1- 3x²)}. 3/2
48) tan⁻¹{cosx/(1- sinx)}. 1/2
49) cos(sin⁻¹x) + tan(cot⁻¹x). -[x/√(1- x²) + 1/x²]
50) sin(cos⁻¹x) + 1/2 sin⁻¹{2x/(1+ x²)}. 1/(1+ x²) - x/√(1- x²)
51) Find the derivative of f(logx) where f(x)= log x. 1/(x logx)
52) tan⁻¹{cosx/(1+ sinx)} + sin(eˣ). eˣcos(eˣ) - 1/2
53) logₓ(tanx). (2x logₑx cosec2x - logₑ(tanx))/{xlogₑx)²}
54) logₑ √{(1- cosx)/(1+ cosx)} + aˣ. Cosecx + aˣ logₑa
55) sinx/(1+ cosx). 1/2 sec²(x/2)
56) tan⁻¹ √{(1- x)/(1+ x)}. -1/{2√(1- x²)}
57) cos[2 sin⁻¹(cosx)]. 2 sin2x
58) x√(x²+ a²)+ a²logₑ{x + √(x²+ a²)} at f'(0). 2a
59) eᵃˣ sin bx. eᵃˣ(a sin bx + b cos bx)
60) log₁₀√{(1- cosx)/(1+ cosx)}. log₁₀e cosecx
61) tan⁻¹√{(1+ cos2x)/(1- cos2x)}. -1
62) ₑ√cotx. ₑ√cotxcosec²x/2√cotx
63) ₃√(1+ x+ x²). (1+ 2x) log 3. ₃√(1+ x+ x²)/2√(1+ x + x²)
64) log sec(ax + b)³. 3a(ax+ b)² tan(ax + b)³
65) log[2x + 4+ √(4x²+ 16x -12). 1/√(x²+4x -3)
66) tan log sinₑx². 2x ₑx²cot(ₑx²) sec²(log sinₑx²)
67) xˣ. xˣ(1+ logx)
68) ₓ(1+ x + x²). ₓ(1+ x + x²)[x +1+ 1/x + (2x+1)log x)
69) (tanx)ˢᶦⁿ ˣ at x=π/4 √2
70) xᶜᵒˢˣ + sin(logₑx). xᶜᵒˢˣ[cosx/x - sinx logₑx]+ 1/x cos(logₑx)
71) sin⁻¹ {2x/(1+ x²)} w.r.t. cos⁻¹{(2- x²)/(1+ x²)}. 1
72) ₓsin⁻¹x w.r.t. sin⁻¹x. ₓsin⁻¹x [√(1- x²)/x sin⁻¹x + log x]
73) tan⁻¹x/(1+ tan⁻¹x) w.r.t. tan⁻¹x. 1/(1+ tan⁻¹x)²
74) cos⁻¹{(1- x²)/(1+ x²) w r t. tan⁻¹{2x/(1- x²)}. 1
75) cos⁻¹{(1- x²)/(1+x²)} w.r.t.sin⁻¹{2x/(1+ x²)}
76) tan⁻¹{2x/(1- x²)} w.r.t sin⁻¹ {2x/(1+ x²)}.
77) log[eˣ {(x-1)/(x+1)³⁾²}]. (x²+2)/(x²-1)
78) {x³ √(x²-12)}/³√(20- 3x) at x=4. 120
79) [x/{1+ √(1- x²)}]ⁿ.
80) cos⁻¹(8x⁴- 8x²+1). -4/√(1- x²)
81) 1/{√(x+a) + √(x+ b)}.
82) log(x²+ x +1)/(x²- x +1). 2(1- x²)/(1+ x²+ x⁴)
83) tan⁻¹ (cosx - sinx)/(cosx + sinx). -1
84) sin⁻¹{2ax √(1- a²x²)}. 2a/√(1- a²x²)
85) cos⁻¹{(3+ 5 cosx)/(5+ 3 cosx)}. 4/(5+ 3cosx)
86) log√{(a cosx - b sinx)/(a cosx + b sinx)}. -ab/(a² cos²x - b² sin²x)
87) sin[2tan⁻¹√{(1- x)/(1+x)}]. -x/√(1- x²)
88) tan⁻¹[√{(a- b)/(a+ b)} tan(x/2]. √(a²- b²)/2(a+ b cosx)
89) y= x+ [1/{x + 1/(x + 1/x)}].
90) 3x⁴- x²y + 2y³= 0. 2x(6x²-y)/(x²- 6y²)
91) 3x³+ y³= 3axy. (x²- ay)/(ax - y²)
92) eˣʸ - 4xy = 2. -y/x
93) ₓ cos⁻¹x.
94) xy = cos(xy) when x=π/2, y= 0. 0
95) xʸ . yˣ = 1.
95) (x+2)/{(x-1)(x+5)}.
96) ₓcos²x.
97) x= ylogₑ(xy). y(x-y)/x(x+y)
98) xʸ+ yˣ = 1.
99) ₐx².
100) (sinx)ᶜᵒˢˣ + e³ˣ.
101) (sinx)ᶜᵒˢˣ +(cosx)ˢᶦⁿˣ.
102) logₑ(xy)= eˣ⁺ʸ + 2.
103) (siny)ˣ = (cosx)ʸ.
104) xᵖ yᑫ = (x+y)ᵖ⁺ᑫ. y/x
105) ax²+ by²+ 2hxy+ 2gx + 2fy + c = 0.
106) x= at², y= 2at.
107) x= a cos t, y= b sin t.
108) x= sin²t, y= tan t.
109) x= a(2t+ sin 2t), y= a(1- cos 2t)
110) tany = 2t/(1- t²), sinx = 2t/(1+ t²)
111) y= tan⁻¹t/√(1- t²)) , y= sec⁻¹(1/(2t²-1).
112) y=sin(3t - 4t³), x= sec(1/(1- 2t²)).
113) y= ₑsin⁻¹t, x= ₑ-cos⁻¹t.
114) y= a sin³t, x= a cos³t.
115) x=a(cos t+ t sin t) and y= a(sint - t cos t) at t=3π/4. -1
116) tany= 2t/(1- t²), cosx = (1- t²)/(1+ t²). 1
117) x=3at/(1+ t³), y= 3at²/(1+ t³).
118) {(a+ x)/(1+ x)}ᵃ⁺¹⁺²ˣ find f'(0).
119) [(tan)ᵗᵃⁿˣ]ᵗᵃⁿˣ.
120) tan⁻¹[{√(1+t²)+ √(1- t²)}/{√(1+ t² - √(1- t²)}]. -t/√(1- t⁴)
121) sin{π/6 eˣʸ} at x=0. √3 π/24
122)
1) If y= 2 tan⁻¹√{(x - a)/(b - x)} then show that (dy/dx)²+ 1/{(x-a)(x - b)}= 0
2) If cos y= x cos(a+ y), prove dy/dx= {cos²(a+ y)}/sin a
3) If sin y= x sin(a+ y), prove dy/dx= {sin²(a+ y)}/sin a= sina/{1- 2x cos a + x²}
4) xʸ = eˣ⁻ ʸ then prove dy/dx = log x/(1+ logx)²= log x/(logex)²
5) If √(1- x²)+ √(1- y²)= a+x - y) then show dy/dx = √{(1- y²)/(1- x²)}
5) {(a+ x)/(b+ x)}ᵃ⁺ᵇ⁺²ˣ then show that f'(0)= (2 log(a/b) + (b²- a²)/ab)(a/b)ᵃ⁺ᵇ
6) If x= a sin 2t(1+ cos2t) and y=a cos2t(1- cos2t), then show 1 +(dy/dx)² = sec²t.
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