Thursday, 19 November 2020

IMPORTANT QUESTIONS CLASS-XII

         DETERMINANT

USING PROPERTY PROVE
          ***************

1) y+x    x    y 
     z+x    z    x = (x+y+z)(x - z)²
     x+y    y    z 

2) 1   x+y   x²+y² 
     1   y+z   y²+ z² = (x -y)(y -z)(z - x)
     1   z+x   z²+ x²

3) a+ x   y       z 
      x     a + y   z = a²(a+x+y+z)
      x       y     a+z

4) 1     1    1 
     x     y     z = (x-y)(y-z)(z-x) 
    yz   zx   xy

5) b+c    c+a    a+b 
     c+a    a+b    b+c 
     a+b    b+c    c+a
   = 2(a+b+c)(ab+bc+ca-a²-b²-c²)

6) a- b-c     2a     2a 
     2a       b- c-a   2b     = (a+b+c)³
     2c         2c    c -a-b

7) 3a    -a+b     -a+c 
     a-b     3b        c-b 
     a-c     b-c        3c
 = 3(a+b+c)(ab+ bc+ ca)

8) a+b     b+c     c+a           a b c
     b+c     c+a     a+b = 2.   b c a
     c+a     a+b     b+c          c a b

9) x+4     2x     2x 
      2x     x+4    2x = (5x+4)(4-x)²
      2x       2x    x+4

10) x      x²       1+x³ 
       y      y²       1+y³ = 0,
       z      z²       1+z³
Then show that xyz = - 1

11) a² +1    ab    ac 
         ab     b²+1  bc = 1+a²+b²+ c²
         ca       cb   c²+1

12) 1 +a    1     1 
          1     1+b   1 = abc+bc+ca+ab
          1       1   1+c

13) 1     1+p      1+ p+q
       2     3+2p    1+3p+2q = 1
       3      6+3p    1+6p+3q

14) x     x²      1+ px³ 
       y     y²      1+ py³ 
       z     z²      1+pz³
= (1+pxyz)(x -y)(y-z)(z-x)

15) If a, b, c are positive and unequal, show that the following determinant is negative:
          a        b        c 
A =     b       c         a 
          c        a         b


Solve for x:
1) a+x     a-x      a- x 
     a-x      a+x     a-x = 0
     a- x     a-x      a+x

2) x      4      = 0 
     2     2x


Evaluate

1)   sin 30°       cos 30°
     - sin 60°      cos 30°

2) a - b      b - c         c - a 
     b - c      c - a         a - b 
     c - a       a - b        b - c


                   MATRIX
                    -----------

1) If A = 4       1 
               5       8 
 Show that A + A' is a symmetric matrix, where A' denotes the transpose of matrix A

2) If A = 3       4 
               5       1 
Show that A - A' is a skew symmetric matrix, where A' denotes the transpose of matrix A

3) If A = 1   - 3     2     B= 2  - 1    - 1
               2     0     2          1     0    - 1
Find the matrix such that A+B+C is a zero matrix.

4) Construct a 2x3 matrix A, whose elements are given (I+j)²/2

5) Compute the adjoint of the matrix A= 1     2    
                  3   - 5
and verify that A. (Adj A) = | A| I.

6) If A= 3      - 2              
              4      - 2
find k If A²= kA - 2I₂      

7) If A= 1       2      2
              2       1      2
              2       2      1 
 prove thatA² - 4A - 5A = 0. Hence find A⁻¹.

8) If A = 1      2    
               2      1 
and f(x)= x² - 2x - 3, show that 
f(A)= O

9) Express the metrix 
       A = 1     3      5
             -6     8      3
             -4     6      5
as the sum of a symmetric and a skew-symmetric matrix.

10) If A= 6      5
                7      6    
Show that A² - 12A + I= 0. Hence find A⁻¹.

11) If A= 3      2
                1      1 
find the value of a and such that 
A² + A a+ b I=0. Hence find A⁻¹.

12) If A=  3      1
                -1      2  
Show that A² - 5A + 7I= 0. Hence find A⁻¹.

13) If A = 3     -2
                4      -2 
Find the value of λ, if A² +λA+ 2 I= 0. Hence find A⁻¹.

14) For what value of x, is following matrix is singular ?
   3 -2x       x +1
      2             4

15) Find x, if 3x+y   -y        1     2
                       2y-x    3 =    -5     3

16) Find the inverse of 
 3       0     -1
 2       3      0
 0       4      1

17) write the adjoint of 2     - 1
                                         4       3

18) Express the matrix as the sum of a symmetric and skew symmetric matrix, and verify result. 
 3         - 2       - 4
 3         - 2       - 5
-1           1         2

Solve
1) 2x + y +2z =3;  x +y + 2z= 2 ;
     2x + 3y - z = - 2

2) x + 2y - 3z = - 4; 2x +3y + 2z= 2 ;
     3x - 3y - 4z = 11

3) 3x+y+z= 3, 2x - y - z= 2, 
    - x - y + z = 1

4) x+y+z= 6; 2x - y+z= 3;
     x - 2y + 3z = 6

5) x+2y+z=7, x+3z=11,2x-3y=1

6) x+y-z=1, 3x+y-2z=3,x-y-z=1

7) 3x-y+z=5,2x-2y+3z=7, x+y-z=-1

8) x+2y -3z=6, 3x+2y-2z=3,
     2x-y+z=2.

9) 2x - y+z=0, x+y-z=6, 3x-y+4z=7.

10) x+y+z=6, x+2z=7, 3x+y+z=12



           


No comments:

Post a Comment