Revision/test (Inverse Trigonometry)

TEST

1) Prove: sin⁻¹(8/17) + sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(77/85).                              (2)

2) Evaluate: sin(3 sin⁻¹0.4).        (2)

3) If x, y, z belongs to [-1, 1] such that sin⁻¹x + sin⁻¹y + sin⁻¹z = 3π/2, find the value of x²⁰²⁰ + y²⁰²¹+ z²⁰²² - 9/(x²⁰²⁰+ y²⁰²¹ + z²⁰²²).              (3)

4) Prove: sin[cot⁻¹{cos(tan⁻¹x)}] = √{(x²+1)/(x²+2)}.                       (5) 

OR

Tan⁻¹(1/2 tan 2A) + tan⁻¹(cotA) + tan⁻¹(cot³A). Evaluate 

5) Compulsory

A) The value of sin(1/4 sin⁻¹(√63/8) is

a) 1/√2 b) 1/√3 c) 1/2√2 d) 1/3√3

B) If tan⁻¹(cot A)= 2A, then A=

a) ±π/3 b) ±π/4 c) ±π/6 d) none

C) 4 cos⁻¹x + sin⁻¹x =π, then the value of x is

b) 3/2 b)1/√2 c) √3/2 d) 2/√3

REVISION 

Prove

1) 2tan⁻¹1/5 + tan⁻¹1/8=tan⁻¹4/7

2) 1/2 tan⁻¹x = 

  cos⁻¹√[{1√(1+x²)}/2√(1+x²)]

3) sin⁻¹4/5 +sin⁻¹16/65= π/2

4) sin (π/3 - sin⁻¹(-1/2)) = 1

5) cot (π/4 - 2 cot⁻¹3) =7

6) If cos⁻¹x+ cos⁻¹y+ cos⁻¹z=π then prove x²+y²+z²+2xyz=1

7) If tan⁻¹x+tan⁻¹y+tan⁻¹z=π/2 then prove xy +yz+zx =1

8) If tan⁻¹x+ tan⁻¹y+ tan⁻¹z = 0 then prove x+y+z=xyz

9) prove tan⁻¹(1/2 tan  2A)  + tan⁻¹(cot A)+ tan⁻¹(cot³A) =0

10)a) solve: tan⁻¹3x+ tan⁻¹2x =π/4

b) tan⁻¹(cos x) =tan⁻¹(2 cosec x)

c) tan⁻¹(x+1) +tan⁻¹(x-1) =tan⁻¹8/31

d) sin⁻¹x/√(1+x²) - sin⁻¹1/√(1+x²) = sin⁻¹{(1+x)/(1+x²)}

e) Sin⁻¹(x/2)+cos⁻¹(x+√3/2) =π/6

f) If Sin⁻¹x +Sin⁻¹y+Sin⁻¹z=3π/2, then prove x²+y²+z²+2xyz=1

Simplify:

11) a) Cos⁻¹(x+ 1/2) +Cos⁻¹x+ Cos⁻¹(x - 1/2) = 3π/2.

b) Tan⁻¹{(2sin2θ)/1+2cos2θ)} - 1/2  sin⁻¹{(3sin2θ)/(5+4cos2θ)}

c) tan⁻¹1 + tan⁻¹1/2 + tan⁻¹1/3

d) sin(sin⁻¹1/3 + sec⁻¹3) + cos(tan⁻¹1/2 + tan⁻¹2)

e) sin{sin⁻¹√5/4 + tan⁻¹√(5/11)}

f) tan⁻¹sin cos⁻¹√(2/3)

Prove:

12)a) cos⁻¹3/5+ cos⁻¹12/13 + cos⁻¹63/65  = π/2

b) 1/2 tan⁻¹x = cos⁻¹√{(1+√(1+x²))}/2√(1+x²)

c) prove tan⁻¹x + cot⁻¹(x+1) = tan⁻¹(x²+x+1)

d) tan(2 tan⁻¹m) = 2tan(tan⁻¹m+ tan⁻¹m³)

e) tan⁻¹(1/2  tan 2A) + tan⁻¹(cotA)+ tan⁻¹(cot³A) = 0

Solve:

13)a) 3(Cos⁻¹x + 2sin⁻¹x) = 7π

b) tan⁻¹(cot2x) + tan⁻¹(-cot 3x) = x

c) sin⁻¹{2a/(1+a²)} - cos⁻¹{(1-b²)/(1+b²) = 2 tan⁻¹x

d) tan⁻¹x tan⁻¹2x tan⁻¹3x = π

e) 3 tan⁻¹{1/(2+√3)} - tan⁻¹( = 1/x) = tan⁻¹1/3

f) sin⁻¹x + sin⁻¹(1-x) = cos⁻¹x

g) tan⁻¹(x+1)+tan⁻¹(x-1)= tan⁻¹8/31

h) tan⁻¹{(x-1)/(x-2)} + tan⁻¹{(x+1)/(x+2)} = π/4

i) tan⁻¹{(1/(2x+1)}+ tan⁻¹{1/(4x+1)= tan⁻¹(2/x²)

14)  if α+β= tan⁻¹m, α-β=tan⁻¹n Express tan 2α and tan2β in terms of m,n.

15) If  sin⁻¹x = tan⁻¹y then find the value of 1/x² - 1/y²

16) If r²= x²+y²+z², prove tan⁻¹yz/xr + tan⁻¹zx/yr + tan⁻¹xy/zr = π/2

Solve:

17)a) cos(2tan⁻¹1/7) =  sin(4tan⁻¹x)

b) cos(tan⁻¹x) = sin(cot⁻¹3/4).

prove :

18)a) cos⁻¹(63/65)+2tan⁻¹(1/5) = sin⁻¹(3/5).

  

b) 4 tan⁻¹1/5 - tan⁻¹1/70 + tan⁻¹1/99  =π/4

c) sin⁻¹{x/√(1+x²)} +   cos⁻¹{(x+1) √(x²+2x+2)} =  tan⁻¹(x²+x+1)

d) cot(π/4 - 2 cot⁻¹3) = 7

e) sin cot⁻¹ cos(tan⁻¹x) = √{(1+x²)/(2+x²)

f) sin⁻¹√3/2 + 2 tan⁻¹1/√3 = 2π/3

g) tan⁻¹1/3 +tan⁻¹1/5 + tan⁻¹1/7 + tan⁻¹1/8 = π/4

h) tan⁻¹(1/2 tan 2A) +tan⁻¹(cot A)+ tan⁻¹(cot³A) = 0

Solve:

19)a) tan⁻¹(2+x)+ tan⁻¹(2-x) =tan⁻¹2/3

b) sin⁻¹5/x + sin⁻¹12/x = π/2

c) sin⁻¹6x + sin⁻¹(6√3 x)= - π/2

d) sin⁻¹{2a/(1+a²)} + sin⁻¹{2b/(1+b²)} = 2 tan⁻¹x

e) sin{2 cos⁻¹ cot(2 tan⁻¹x)}=0

20) If tan⁻¹a + tan⁻¹b + tan⁻¹c = π then Prove that a+ b + c = abc

21) If tan⁻¹a + tan⁻¹b + tan⁻¹c = π/2 prove ab + bc + ca = 2

22) If cos⁻¹a/2 + cos⁻¹b/3  = K prove 9x² - 12 xy cos K + 4y² = 36 sin²K

Prove:

23)a) tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) = π/4

b) 4tan⁻¹1/5 + tan⁻¹1/70 + tan⁻¹1/89 =π/4

c) tan⁻¹(1/4)+tan⁻¹2/9= 1/2cos⁻¹3/5

d) sin⁻¹4/5 + sin⁻¹5/13 + sin⁻¹16/65 =π/2

e) 1/2 tan⁻¹x = cos⁻¹√[{(1+√(1+x²)}/2√(1+x²)]

f) tan⁻¹x + cot⁻¹(x+1)= tan⁻¹(x²+x+1)

g) tan⁻¹1+tan⁻¹2+tan⁻¹3 = 0

h) 2(tan⁻¹1+tan⁻¹1/2 +tan⁻¹1/3) =π

i) tan(2tan⁻¹a) = 2tan(tan⁻¹a+ tan⁻¹a³)

j)  tan⁻¹(1/2 tan 2A)+ tan⁻¹(cot A)+ tan⁻¹(cot³A) =0

Solve:

24)a) tan⁻¹(x+1)+tan⁻¹(x-1) = tan⁻¹8/31

b) tan⁻¹(x-1)+tan⁻¹x+tan⁻¹(x+1) = tan⁻¹3x

c) tan⁻¹{(x-1)/(x-2)}+ tan⁻¹{(x+1)/(x+2)} = π/4

25) If cos⁻¹x + cos⁻¹y + cos⁻¹z =π prove x²+y²+z²+2xyz =1

26) prove sin⁻¹(12/13) + cos⁻¹(4/5)  + tan⁻¹(63/16) = π .

Solve :

27)a) cos⁻¹(sin cos⁻¹x) = π/6

b) solve) cos (sin⁻¹x)= 1/7

c) value of tan(2 tan⁻¹ 1/5)

d) tan⁻¹{1/(2x+1)} +  tan⁻¹{1/(4x+1)} = tan⁻¹2/x²

e) tan⁻¹{(x+1)/(x-2)} +tan⁻¹{(x-1)/x} = tan⁻¹(-7)

28) If tan⁻¹x +tan⁻¹y+tan⁻¹z= π prove x+y+z=xyz

29) if tan⁻¹x+tan⁻¹y+tan⁻¹z=π/2 show that xy+yz+zx=1

29)  prove tan(π/4 + 1/2cos-¹ 1/3) + Tan(π/4 - 1/2 cos-¹ 1/3) =6

 30) solve cos⁻¹(sin (cos⁻¹x))=π/3. 

                                         

 Prove :

31) a) Sin(2tan⁻¹3/5-sin⁻¹7/25) =304/425

32) If tan⁻¹x + tan⁻¹y + tan⁻¹z=0, prove that x+ y +z = xyz.

33) prove: tan⁻¹1/4 + tan⁻¹2/9 = 1/2 cos⁻¹3/5