Mixed b/c/p/m

MIXED CHEMISTRY 

1) What are 'groups' of modern periodic table ? What does the 'group number' ?

2) Name and state the following with the reference to the elements of the periodic table.

a) The novel gas having an electronic configuration 2, 8, 8 .

b) The non-metal in period three having a valency one.

c) The formula of the hydride of the halogen in period 3.

d) The element from the elements  C, O, N, F having the maximum nuclear charge.

e) The element with the largest atomic size from the elements of period -- 1, 2 and 3.

3) Fill up the blanks with appropriate words.

a) Elements of the extreme left of the modern periodic table are ___ reactive, while elements of the extreme right [group -189(0)] are ____reactive. [least/at most]

b) Atomic size of neon is ____( more/less) than the atomic size of fluorine .

c) An atom is said to be non metal if it ____(gains /loses) one or more electrons.

d) nuclear charge of an atom is the______( negative /positive) charge on the molecules of an atom, equivalent to the atomic _____(number/ mass) of an atom.

e) covalent compounds are formed by sharing electron pairs between non metallic atoms. non metallic ions having _____valence electrons (4, 5, 6, 7) share 1, 2 or 3 pairs of electrons respectively.

f) In the reaction of Cl₂ + 2KI ---> 2KCl + I₂.

 The conversion of 2I to I₂ is deemed as ____(oxidation/ reduction).

g) An example of a base which is not alkali is ____(caustic soda/ zinc hydroxide) solution.

h) An insoluble salt prepared by direct combination or synthesis is. ___(FeCl₃/FeSO₄/FeS/ Fe(NO₃)₂).

i) The hydroxide which is soluble in excess of NaOH is ____(Zn(OH)₂/ Fe(OH)/ Fe(OH₂))

j) To distinguish soluble salts of zinc and lead ____(NaOH/ NH₄OH) can be used.

k) On electrode at which anions donates excess electrons and are oxidised to neutral atmoss is the ____(anode/cathode).

l) On electrolysis Ag¹⁺ and H ions migrate to the ___(cathode/anode) and ____(Ag¹⁺/HI⁻) are discharged.

m) MA²⁺ forms M, a natural atom by electron ____(less/gain).

n) The metal whose hydroxide does not decompose on heating but its nitrate decomposes is ____(Ca/Al/Na/Fe).

o) During electrolytic reduction of alumina the insert electrode is___( reduced/oxidised) to a neutral gas.

p) aluminium powder a constituent of points , prevents ___(heat radiation/ formation of rust/conduction of electric current).

q) German silver contains ____(Cu-Zn-Sn/Cu-Zn-Ni/Cu-Ph/Ni)

r) the non metallic components of stainless steel is ___(Sulphur/Phosphorus/ carbon).

s) hydrogen chloride gas on heating above 500°C gives hydrogen and chlorine. The action/ thermal dissociation.

t) Addition of ___(sodium nitrate/zinc nitrate/silver nitrate) to hydrochloric acid, gives an insoluble precipitate of the respective chloride.

u) The gas/es which is/are heavier than air and highly soluble in water (NH₃/HCl/CO₂/H₂S)

v) Ammonia in the liquefied from is___ (acidic/ basic/ neutral)

w) the oxidised product obtained on reaction of H₂S gas with dilute HNO₃ is ___(Sulphur /sulphuric acid).

x) A mineral acid obtained from concentric nitric acid on reaction with a non metal is ___( hydrochloric acid/ sulphuric acid/ carbonic acid ).

y) The dehydrated product oobtained when cane sugar reacts with concentric H₂SO₄. (CO/C/CO₂).

z)  The reduced produced obtained from hydrogen supplied reacts with concentric  H₂SO₄/ SO₂/S/H₂O).

a) The IUPAC name of methyl acetylene (1- butane/propyne/ethyne).

b) State the factor which affect

a) electro affinity 

b) electro negative of elements in a periodic table.

3) What is meant by the 'chemical bond' and 'chemical bounding'.

4) State why noble gases are unreactive while atoms of elements other than noble gases are chemically reactive.

5) State the reason why ammonia is evolved when ammonia is evolved when an ammonium salt and alkalis are heated.

6) Give balanced equation for the preparation of the following salts.

i) CUSO₄ ii) NaHSO₄ iii) FeSO₄ iv) PbSO₄ using dilute H₂SO₄ v) Na₂SO₄

7) State giiving reasons , in what state of medium does 

a) NaCl

b) HCl

c) NH₃ gas conduct electricity.

8) Name three organic compounds and one neutral liquid which are non electrolytes.

9) Give a reason why metals ---copper, silver and lead are electro refined but K, Na and Ca are not.

10) Explain the term 'dectrometallurgy'. At which electrode metal always deposited.

11) State the electrode reaction at the respective electrodes at the respective electrode reaction at the respective electrode reaction at the respective electrodes during extraction of Al from Al₂O₃.

12) State the basis on which the general characteristic properties of metals and non-metal are associated.

13) State why alkali metals are strong agents, while halogens( non metal) are strong oxidizing agents.

14) Explain in brief the electrolyte method of further purification of aluminium metal.

15) state reason why zinc is used in used in 

a) galvanization 

b) dry cells

c) alloys 

16) Give the equation for preparation of HCl gas by synthesis. State two conditions involved in the synthesis.

17) Give four different word equations relating to acidic properties of an aqu. solution of HCl gas.

18) convert hydrochloric acid to nascent chlorine.

19) Give three test for hydrochloric acid. Convert silver nitrate to a soluble salt of silver using hydrochloric acid and alkali.

20) State by nitrogenous matter produces ammonia. State a liquid source of Ammonia .

21) Give balanced equation with all conditions to option with all conditions to obtain NH₃ from N₂ and H₂.

22) convert ammonia to nitric oxide by catalytic oxidation of ammonia . State all conditions .

23) State a reason why reaction of liquor ammonia. State all conditions.

24) State five tests for ammonia where a colour change involved.

25) State the colour of 

a) i) pure nitric acid ii) nitric acid obtained in the laboratory iii) nitric acid from laboratory preparation after passage of air addition of water to it.

b) State which reaction of ammonia forms the first step of Oswald's process.

c) state how addition of nitric acid to acidified  FeSO₄ serves as a from former.

d) Name two naturally occurring nitrates . Give equations for three different methods of preparing nitrates.

e) give equations for the heat on i) two different nitrates types which evolve only one gas. ii)  3 different nitrates which leave a coloured metallic residue . iii) A nitrate which leaves no residue.

26) a) State how  SO₂ is obtained from Cu and conc. H₂SO₄.

b) Give the reaction of SO₂ with chlorine. What type of reaction of SO₂ is it.

c) Give the reaction reaction for the use SO₂ in i)  bleaching ii) food preservation.

d) State how addition of a) copper b) NaCl to hot con H₂SO₄.

27) a) Draw the structural formula and give the name of two isomers of butane and 3 isomers of pentane .

b) State what are alcohols including denatured alcohol. Draw the structural formula for method and ethanol.

c) state what are alkenes. Give a reason why alkanes are called olefins.

d) State what are functional groups ? Name the following functional groups.

-OH, -CHO; -COOH; X= - F, -Cl, Br, I; -Cl=O; -C-O-C.

28) a) calculate the percentage of iron in K₃Fe(CN)₆ (K=39, Fe= 56, C= 12, N= 14(.              17.02% of Fe

b) calculate the percentage of water of crystallization in CuSO₄. 5H₂O. (Cu= 63.5, S= 32, O= 16, H= 1).       36.07%

c) Two the organic compounds x and y containing carbon and hydrogen only have vapour densities 13 and 36 respectively. State the molecular formula of x and y. (C=12, H=1).           C₂H₂; C₆H₆

d) A gaseous hydrocarbon weight 0.7g and contains 0.60g of carbon. Find the molecular weight is 70. (C=12, H=1).       C₅H₁₀

e) What mass of silver chloride will be obtained by adding an excess of hydrochloric acid to a solution of silver nitrate. (Cl=35.5, Ag=108, N=14, O=16, H=1).        0.287g

f) Zinc blend is roasted in air. Calculate 

a) The number of mole of sulphur to produce 22.4 lits of SO₂ at s.t.p (S=32, Zn= 35, O= 16)        8 moles, 97g

g) Calculate the ammonia gas obtained when 32.6g. ammonium chloride reacts with calcium hydroxide during the laboratory preparation of ammonia (2NH₃). (N=14, H=1, O=16, S= 32, Cl= 35.5).         1036g

h) What volume of oxygen would be required for the complete combustion of 100 lits of ethane according to the following equation 

2C₆H₆ + 7O₂ --> 4CO₂ + 6H₂O.        350 lits

i) 4NO+ CH₄ ---> CO₂ + 2H₂O + 4N₂. If all volume are measured at the same temperature and pressure calculate the volume of N₂O required to give 150 cc of steam.    300 cc

₂₂₂₃₂₂₂₄₂₂₄₄₄₄₂₄₂₄₃₂₃₃₂₂₄₂₂₄₂₂₂₂₃₂₄ ⁻₂₅₂₂₃₂₂₂₂₃₂₂₂₃₂₂₄₄₂₄₄₂₂₂₂₇₂₄₂₂₃₂₅₂₂₇₂₂₇₃ ₆ ₄₂₂₂₆₆₅₁₀₃₆₆₂₂₂₄₂₂₂₂

MATHS

1) Girija buys a TV set for Rs 13300 and gets 6% rebate on it. He has to pay a GST of 10%. Find the total amount he has to pay.

2) The listed price of a refrigerator is Rs 15000. The customer is allowed a rebate of 50/3%. If the customer pays Rs 13750 for it, calculate the rate of GST.

3) Leena wants to buy an electric iron which is listed Rs 1308. She has to pay a GST of 9%. The shopkeeper reduces the price so that Leena has to pay Rs 1308 inclusive of GST. Find the reduced price.

4) Sita deposits Rs 400 per month in a bank in recurring deposit. On maturity she gets Rs 97854.40. find the period of which she had deposited.

5) Which is the better investment 8% Rs 100 shares at Rs 20 premium or 6% Rs 100 shares at Rs 20 discount?

6) A company declares a semi annual dividend of 5%. Sanjay owns 25 shares of par value Rs 12.50 each. How much annual dividend must be receive ?

7) A company having a capital stock of Rs 450000 declares a dividend of 4% semiannually.

a) What is the annual income of a stock holder owning 135 shares at par of Rs 10?

b) What is the total amount of dividend paid annually by the company.

8) Vinay owns 150 Rs 25 shares of a company which declares a dividend of 12%. What is Vinay's dividend income? If he sells the shares at Rs 40 and invests the proceeds in 7% stock (par value Rs 100) at Rs 80, what is the change in his dividend income?

9) Mr. Gupta purchased 360 Rs 50 shares at Rs 20 premium. The company declares an annual dividend of 12%.

a) Find his dividend income from the shares.

b) Find his total investment in the shares.

10) A man invests Rs 1426 in 5% stock at Rs 115. He sells this stock at Rs 125 and invests the proceeds in 3% stock at 93. Find the change in his income.

11) Solve: (11- 2x)/(9-3x) ≥ 5/8, x belongs to R, x< 3.

12) 8/3≤ x + 1/3 < 10/3, x belongs to R. Hence represent the solution on a number line.

13) A={ x: -1< x ≤ 5, x belongs to R}

       B={x: -4≤ x < 3, x belongs to R}

Represent a) A ∩ B b) A' ∩ B on different number lines, where universal set is R.

14) Solve the equation 3x½- x -7= 0 and give your answer correct to 2 decimal places.

15) Find the roots of x½- 6x +2= 0, using formula.

16) Find the roots of √3 x²- 9x + 6√3=0 using formula.

17) Solve for x, (4x²-1) -3(2x +1)+ x(2x +1)= 0.

18) Solve for x, using formula, x²- 1/x²= (29/10) (x - 1/x).

19) Solve: √(x +15)= x+ 3, x belongs to N.

20) Solve: √{x(x-3)}=√10. State the sum of the roots.

21) Solve: √(6x -5) - √(3x -2)= 2.

22) A two digit number is four times the sum and two times the product of its digits. Find the number.

23) A says to B, I am twice as old as you were when I was as old as you are. If the product of their ages is 588. Find their present ages.

24) A number consists of two digits such that the square of the digit in the ten's place exceeds the digit in the unit place by 11. If the number is five times the sum of the digits, find the number.

25) Ten years ago, the sum of the ages of two sons was half of their father's age. The ratio of the present ages of the two sons is 4:3 and the sum of the present ages of all the three is 117 years. Find the present ages of the father and each of the two sons.

26) A party of students arranged an excursion costing Rs 540, whose amount was to be shared equally by all of them. But later, it was found that three of the students, could not pay, though they had joined the excursion. As a result, the rest of the students had each to pay Rs 2 more. Find the total number of students in the party.

27) In a certain examination, the those number of candidates passed was four times the number of those who failed. If the number of candidates that appeared had been 35 less, and the number that failed had been 9 more, the number passing would have been twice the number failing. Find the total number of candidates that appeared at the examination.

28) In a certain year, the incomes of Nitesh and Mitesh are in the ratio 5:6; their expenses are in the ratio 6:7, and their savings are in the ratio 4:5. If the sum of their expenses during that year is Rs 3900, find the income of each.

29) The length of a rectangle exceeds its breadth by 5m. If the breadth were doubled and the length reduced by 9m, the area of the rectangle would have increased by 140 square.m, find its original area.

30) If the usual speed of a train is reduced by 4km per hour, it takes one hour more to cover a distance of 360 km than it usually does. Find the usual speed of the train in km per hour.

31) The area of a right angle triangle is 60 square. units. Determine its base and the altitude if the latter exceeds the former by 7 units.

32) The points A((2,1), B(0,3) and C(-3,-2) are the vertices of a triangle.

a) plot the points on the graph paper.

b) Draw the triangle formed by reflecting these points in the x-axis.

c) Are the two triangles congruent?

33) P,Q, R are the points (0,0), (2,6) and (10,2) and PM is the median of ∆ PQR. Find the coordinates of the image?

a) A' of A under reflection in the x-axis 

b) B' of B under reflection in the line AA'.

c) A" of A under reflection in the y-axis 

d) B" of B under reflection in the line AA'.

34) If a: b= c: d, show (a²+ ac + c²)/(a²- ac + c²)= (b²+ bd + d²)/ (b²- bd + d²).

35) If a/(b + c) = b/(c + a)= c/(a + b), show that each ratio 1/2 or -1.

36) Using properties of proportion, solve for x:

(2x²+ 6x)/(12x²+ 4)= 682/364.

37) If a,b,c are in continued proportion, show that (ba+ bc) is the mean proportion between (a²+ b²) and (b²+ c²).

38) If x+2 is a factor of x²(x +6)+ Kx + 6, find the value of k.

39) If x -3 is a factor of x³- 3x⅖+ 4x + k, find the value of k. Hence find the other factors.

40) If x-1 is a factor of x³(x +3)+ x(x -3) - 2k, find the value of k. Hence find the other factors, if x+1 is also one of the factors.

41) Show that x-1 is a factor of x³- 7x²+ 14x -8. Hence, completely factorise.

42) If A= (k    3 & B= (2  & C= 1

                 0    1)         -3)         -3) with the relation AB = C, then find k.

43) If A= a   1 & B= 4    3  & C= b    11

                1   0          3    2           4     c with the relation AB= C, then find a, b, c.

44) If A= 4     1

                -1    2 show that A²- 6A + 9I= 0.

45) If A= -3    2 & B= 1     a

                -2   -4          b     0 and (A+ B)(A - B)= A²- B², find the values of a and b.

46) If A=2    -1 & B= 2 

               4     3        -3 find matrix X such that AX = B.

47) If A= 1     1

                1     1 find matrices B and C of order 2x 2 such that AB= AC but B≠ C

48) If A= 2   5 & B= 4     -1

                0   1           2     0 and equation 

 5A+ 3B + 2X= 0      42

                          4       9, find the matrix X.

49) Find the coordinates of the point dividing the join of (1,2) and (2,1) in the ratio of 3:4.

50) C divides AB in the ratio 5:4. If A is (2,7) and C is (-3,-8), find the coordinates of B.

51) A is (6,10), B is a point such that the origin divides AB internally in the ratio 1:2. Find the coordinates of B.

52) Find the ratio in which the point (7, a) divides the join of (-5,2) and (3,6) hence find a.

53) Obtain the ratio in which the x-axis divides the segment joining A(-2,3) and B (4,-6). Hence or otherwise find the coordinates of the point of intersection of the x-axis and AB.

54) Find the equation of lines whose y-intercept is 2 and slope is 3.

55) find the y-intercept and slope of 

a) 3y - 6x= 2

b) 2x - 3y = 6.

56) Find the equation of the line through (2,0),(0,2).

57) Find the equation of a line through (0,3) and parallel to 2y - 4x =1.

58) Find the equation of a line through (0,-5) and parallel to x/2 + y/3= 1.

59) Find the equation of a line through (1,2) and perpendicular to y= 2x +1.

60) Find the equation of a line through the origin and perpendicular to 3x + 5y=7.

61) A(2,4) and C(8,10) are opposite vertex of a rhombus ABCD. Find 

a) the midpoint of AC 

b) the slope of AC 

c) the equation of the diagonal BD.

62) In the given figure angle XZS= YZR= SRZ, XY= 5.2cm and RS= 3.9 cm. Find the ratio of area (∆ XYZ): area (∆ ZSR).

63) A model of a ship is made to a scale 1:300.

a) The length of the model is 6m. Find the length of the ship.

b) The volume of the model is 250 litres. Find the volume of the ship in m³.

c) The area of the deck of the ship is 18000 m². Find the area of the deck of the model.

64) Construct an equilateral ABC in which each side is 5cm long. Construct a point O which is equidistant from the three vertices. Construct perpendicular from O to each side. Is equidistant from each side?

65) Draw a circle of radius 4cm and mark two chords AB and AC of the circle of length 6cm and 5cm respectively.

a) construct the locus of points, inside the circle that are equidistant from A and C.

b) Construct the locus of points inside the circle that are equidistant from AB and AC 

66) From the adjoining diagram 

a) Show BM/AL = MC/LQ

b) If BM= (1/2) MC, find LM/QR.

67) PQRS is a parallelogram, SL= SR. show that 

a) QM= QR

b) ∆ LSR= ∆ ||gm PQRS 

If PQ= 2 PS, show that ∆ QRM= (1/2) ∆ PQR

68) PQRS is a parallelogram, PZ: ZQ= 2:3, Find 

a) QX/XS

b) QX/QS

c) QY/YS

d) QY/QS

69) From the diagram. Find the value of x. Name the isosceles triangle in the figure.

70) If O is the centre of the circle and angle ROS=42, find angle RTS.

71) If C is the centre of the circle, PQRS is a parallelogram and angle PQR= 42, find angle PXR, SCX.

72) A circus tent is cylindrical to a height 3m and conical above it. If its diameter is 105m and slant height of the cone is 53m, find the total area of the canvas required. (π=22/7).

73) A cone is 8.4cm high and the radius of its base is 2.1cm. it is melted and recast into a sphere. Determine the radius of the sphere.

74) The diameter of a sphere is 6cm. It is melted and recasted into a sphere. Determine the radius of the sphere.

75) The diameter of a sphere is 6cm. It is melted and drawn into a wire of diameter 0.2m. find the length of the wire.

76) Prove:

a) 1/(cosx + sin x -1). + 1/(cosx + sinx +1) = cosecx + secx.

b) tan²x - tan²y = (cos² y - cos²x)/(cos² y cos² x) = sin²x - sin²y)/(cos²x cos²y).

c) If x= a sec m cos n, y= b secm sec n, z= c tan m , show that x²/a² + y²/b² - z²/c²= 1.

d) If sinx + sin²x = 1, show cos²x + cos⁴x = 1.

e) show: cos⁶x + sin⁶x = 1- 3 cos²x. sin²x.

f) If 6 sin²x + 2 cos²x = 3 find x.

g) Show: (tanx + secx -1)/(tanx - secx +1)= (1+ sinx)/cosx.

h) show: (1+ cot x - cosecx) (1+ tanx + secx)= 0

i) show (sinx + cosecx)²+ (cosx + secx)²= tan²x + cot²x +7.

76) A man standing 20m from a tower measure the angles of elevation of the top and bottom of a flagstaff on the tower as 30° and 60°. Calculate the height of the flagstaff to the nearest 0.1m.

78) A man on the deck of a ship is 20m above water level. He observes that the angle of a elevation of the top of a cliff is 60° and the angle of depression of the base is 30°. Find the distance of the cliff from the ship and the height of the cliff.

79) For the following distribution, draw a histogram and find mode.

Mass (kg)       frequency 

44-47               13

48-51                27

52-55                43

56-59                36

60-63                23

80) Calculate the mean for the following distribution:

Class         frequency 

10-16           1

16-22           10

22-28            5

28-34            3

35-40            6

81) Find mean for the following distribution 

Marks       students 

05-10         5

10-15         6

15-20         15

20-25         10

25-30          5

30-35          4

35-40          3

40-45          2

82) Following are scores made by a cricketer:

12,24,48,27,0,91,40,13,6,32.

Calculate a) the mean b) the median score 

83) For the following distribution, draw the ogive, estimate the median 

Class       frequency 

0-2            17

3-5            22

6-8            29

9-11          18

12-14         9

15-17         5

Also find (i) lower quartile ii) the upper quartile iii) the semi-inter quartile 

84) Following are the marks of 100 candidates 

Marks    candidate

00-10       5

10-20      10

20-30      22

30-40      40

40-50      15

50-60       8

a) state the pass mark if 75% of the candidates passed.

b) State the mark which 40% of the candidates exceeds 

What percentage of candidates get less than 20 marks.

85) The median of the following observations 11,12,14, 18, (x +14),30,32,35,41, arranged in ascending order is 24. Find x.

86) Two fair dice are thrown. Find the probability of getting 

a) the same score on the first die as on the second.

b) the score of second die is greater than the score of first.

b. aom

Type-1)

1) lim ₓ→₀ (7x²-5x+1).                   1

2) limₓ→₀ (2x³+3x+4)/(x²+3x+2). 2

3) limₓ→₃√(2x+3)/(x+3).             1/2

4) limₓ→₁ √(x+8)/√x.                     3 

5) lim ₓ→₁(x²+1)/(x+1).                 1

6) lim ₓ→ₐ (√a+√x)/(a+x).        1/√a

7) limₓ→₁{1+(x-1)²}/(1+x²).         1/2

8) lim ₓ→₂ (3x²-x+1)/(x-1).            11

9) limₓ→₁ (4-x).                               3

10) lim ₓ→₀(ax²+b)/(cx+d).     b/d 

11) limₓ→_₁(x³ - 3x +1)/(x-1)       -3/2

12) limₓ→₀ (3x+1)/(x+3).          1/3

Type: 2.                                                  *******

1) lim ₓ→₁ (x²-1)/(x-1).                   2

2) limₓ→₋₅ (2x²+9x-5)/(x+5).       -11

3) limₓ→₃(x²-4x+3)/(x²-2x-3).     1/2

4) limₓ→₄ (x²-16)/(√x -2).          32

5) limₓ→₀ {(a+x)³-a³}/x.              3a²

6) lim ₓ→₁(x-1)/(2x²-7x+5).         -1/3

7) lim ₓ→₁ (x²-√x)/(√x-1).               3

8) limₓ→₃(x²-9)/{1/(x-3)+1/(x+3)}. 6

9) limₓ→₁ (x-1)/(2x²-7x+5).       -1/3

10) limₓ→₃ (x²-7x+12)/(x²-9).    -1/6

11) limₓ→₂ (7x²-11x-6)/(3x²-x-10).  17/11

12) limₓ→₂ (x³-8)/(x-2).                  12

13) limₓ→_₁(2x²+5x+3)/(x³+1).  1/3

14) limₓ→₂ x²(x²-4)/(x-2).             16

15) limₓ→₂{(x⁸-16)/(x⁴-4)+(x²-9)/(x-3)}.                                                 25

16) limₓ→₂ (x-2)/(√x -√2).      2√2

17) limₓ→₀ {(1+x)²-(1-x)²}/2x.      2

18) limₓ→₁ (x²+5x-6)/(x²-3x+2).   -7

19) lim ₓ→₁/₂{(8x-3)/(2x-1) - (4x²+1)/(4x²-1)}.                           7/2

20) limₓ→₃(x²+x-12)/(x-3).           7

21) limₓ→₁(x²+4x-5)/(x-1).           6

22) limₓ→₀ {(1+x)²-1}/x.              2

23) limₓ→₂(x²-5x+6)/(x²-3x+2).  -1

24) limₓ→₂(x²+x-6)/(x²-x-2).        5/3

25) limₓ→₂(x²-5x+6)/(x²-7x+10)  1/3

26) limₓ→₃(x²+2x-15)/(x²-2x-3).   2

27) limₓ→₁(x³-1)/(x²-1).              3/2

28) limₓ→₂{1/(x-2) - 1/(x²-3x+2)}.  1

29) limₓ→₁(x²-3x+2)/(x³-4x+3).      1

30) limₓ→₀{(4+3x)³-8x²}/{4(4-x)²}.1

31) limₓ→₂(2x²-3x+7)/(x³+5x+1) 9/19

32) limₓ→_₁(2x²+5x+3)/(x³+1).  1/3

33) limₓ→₁(2x⁴-3x+1)/(x³-5x²+4x).  -5/3

34) limₓ→₃(x³-8x²+45))(2x²-3x-9). -7/3

35) limₓ→₃(x³-6x-9)/(x⁴-81).     7/36

36) limₓ→√₂ (x⁴-4)/(x²+3x√2-8). 8/5

37) limₓ→₁(x⁴-3x³+2)/(x³-5x²+3x+1) 5/4

38) limₓ→₁{(2x-3)(√x -1)}/(2x²+x-3) -1/10

39) limₓ→₃(x²-9){1/(x+3) + 1/(x-3)} 6

40) limₓ→₂(x³-6x²+11x-6)/(x²-6x+8)  1/2

41) limₓ→₁/₂ (8x³-1)/(16x⁴-1)   3/4

42)limₓ→₄(x²-x-12)¹⁸/(x³-8x²+16x)⁹                     7¹⁸/4⁹

43) limₓ→₁{1/(x²+x-2) - x/(x³-1)}. -1/9

44) limₓ_₃(x³-7x²+15x-9)/ (x⁴-5x³+27x-27)             2/9

45) limₓ→√₂. (x⁹- 3x⁸+ x⁶- 9x⁴- 4x²- 16x+84)/(x⁵-3x⁴-4x+12).            (8√2-31)/(√2-3)

46) limₓ→₃ (x⁴- 81)/(x²-9).           18

47) limₓ→₃(x²-x-6)/(x³-3x²+x-3).  1/2

48)  limₓ→₋₂  (x³+x²+4x+12)/ (x³-3x+2).                   4/3

49) limₓ→₁(x³+3x²-6x+2)/ (x³+3x³-3x-1).                1/2

50) limₓ→₁(x⁴-3x³+2)/(x³-5x²+3x+1)  5/4

51) limₓ→₂ (x³+3x²-8x-2)/(x³-x-6).  15/11

52) limₓ→₂  (x⁴ -16)/(x-2).          32

53) limₓ→₁{(x-2)/(x²-x) - 1/(x³ -3x²+2x)}.             2

54) limₓ→₂ {1/(x-2) - 2(2x-3)/(x³- 3x² +2x)}.              -1/2

55) lim ₕ→₀  {f(1+h)-f(1)}/h, when f(x)= 1/x.                        -1

Continue.........

Type: 3.                                                  ------------

1) limₙ→₀{√(x+n) -√(x)}/n.     1/2√x

2)limₓ→₀ {√(1+x) - √(1+x²)}/x.   1/2

3) ltₓ→₀{√(1+x) -√(1+x²}/{√(1-x²)-√(1-x)}.           1

4) limₓ→ₐ{√(a+2x)-√(3x)}/ {√(3a+x) -2√(x)}, a≠ 0.                2/3√3

5) limₙ→₀ 1/n{1/√(x+n) - 1/√(x)}. -1/(2x√x)

6) limₓ→₀ {√(1+x) - 1}/x.            1/2

7) limₓ→ₐ{√(x) - √(a)}/(x-a).    1/2√a

8) limₓ→₄ {3 -√(5+x)}/(x-4).      -1/6

9) limₓ→₀{√(x+2) - √(2)}/x.      1/2√2

10) limₓ→₀ x/{√(1-x)- 1}.               2

11) limₓ→₀ {√(1+x) -√(1-x)}/2x.   1/2

12) 

13) limₓ→₀ {√(1+x+x²) -1 }/x.      1/2

14) limₓ→₀{√(1-x³) -√(1+x³)}/x².     0

15) limₓ→₄ {3-√(5+x)}/{3-√(5-x). 1/3

16) limₓ→₃{3-√(6+x)}/{√3 -√(6-x). -1/√3

17) limₓ→₀{√(1+x) -√(1+x²)}/{√(1-x²) - √(1-x)}.               1

18) limₓ→₂(x²-4)/{√(3x-2)-√(x+2)}. 8

19) limₓ→₃{√(3x+7)-√(7x-5)}/{√(5x-6) - √(2x+3)}.           - 1

20) limₓ→₁{√(x+8)-√(8x+1)}/{√(5-x)- √(7x-3)}.              7/12

21) limₓ→₁ {³√(x+7)- ³√(7x+1)}/(x-1)            1 - ³√7

22) limₓ→₂{2-√(2+x)}/{³√2- ³√(4-x)}  - 3/³√16

23) limₓ→₀  x/{√(a+x)-√(a-x)}.    √a

24) limₓ→₄ (x²-16)/{√(x²+9) -5}  10 

25) limₓ→ₐ{√(a+2x)-√(3x)}/{√(3a+x)- 2√x}            2/3√3

26) limₓ→₁{(2x-3)(√x -1)}/(2x²+x-3)  -1/10

27) limₓ→√₁₀  {√(7-2x)-(√5-√2)}/(x²-10).         (√5+√2)/6√10

28) limₓ→₂  {√(x²+1)-√5}/(x-2)   2/√5

29)  limₓ→₂ (2-√x)/(4-x).           1/4

30) limₓ→ₐ (x-a)/(√x - √a).      2√a

31) limₓ→₂  (x-2)/(√x-√2).        2√2

32) limₓ→₃ {√(x-3)+√x -√3}/√(x² -9)  -1

Continue.......

Type : 4

1) limₓ→₂(x¹⁰ - 1024)/(x-2).    5120

2) limₓ→₁ (xᵐ -1)/(x-1)                m 

3) limₓ→₃ (x⁵-243)/(x²-9).       135/2 

4)limₓ→ₐ(x⁵-a⁵)/(x³-a³).            5a²/3

5) limₓ→₅  (x⁴-625)/(x³-125).   20/3

6) limₓ→₂ (x¹⁰ -1024)/(x⁵ -32).   64

7) limₓ→₉ (x³/² -27)/(x-9).          9/2 

8) limₓ→ₐ(x³/⁵-a³/⁵)/(x¹/³-a¹/³).   9/

a⁴/¹⁵/5

10) limₓ→₁(xᵐ -1)/(xⁿ -1)         m/n

11) limₓ→ₐ (x√x- a√a)/(x-a)    3√a/2

12) limₓ→₂ (x⁷-2⁷)/(x³-2³).      112/3

13) limₓ→₀ {(1+x)ⁿ -1}/x.           - n 

14)limₓ→¹ {(1+x)⁶ -1}/{(1+x)² -1}.  3

15) lim ₓ→ₐ(x²⁾⁷- a²⁾⁷)/(x-a)   2/7a⁵⁾⁷

16) lim ₓ→₋₁/₂  (8x³+1)/(2x+1).     3

17) limₓ→ₐ{(x+2)⁵/² -(a+2)⁵/²}/(x-a)       5/2 √(a+2)³

18) lim ₓ→₂ (x-2)/(³√x - ³√2).  3(2²⁾³)

19) If lim ₓ→₂ (xⁿ - 2ⁿ)/(x-2)= 80 and n∈ ℕ find n                                    5

20) If lim ₓ→₁(x⁴-1)/((x-1)= lim ₓ→k (x³ - k³)/(x² - k²). Find k              8/3

21) If limₓ→_ₐ (x⁹+a⁹)/(x+a) = 9, then find the value of a.                ±1

22) limₓ→³ (xⁿ-3ⁿ)/(x-3) =108 and if  n is positive integer find n.             4 

Continue........

Type : 5

1)lim→₀ (e⁻ˣ -1)/x.                       -1

2) limₓ→₀ (eᵃˣ-1)/ax.                    1

3) limₓ→₀ (eᵃˣ-1)/mx.               a/m 

4) limₓ→₀ (e⁵ˣ -1)/3x.                 5/3

5) limₓ→₀ (eᵃˣ - eᵇˣ)/x.               a-b

6) limₓ→₀ (e⁷ˣ - e³ˣ -e⁴ˣ +1)/x².    12
                            
7) limₙ→₀{ ₑ(x+n)²   - ₑx²)}/n.      2x

8) lim ₓ→⁰ (eˣ- e)/(x-1).                  e 

9) limₓ→₀ (ₑlog x ₋ ₁)/ₑˣ⁻¹ ₋ ₁)        1

10) lim ₓ→₀ (eˣ - e²)/(x-2).            e²

11) limₓ→₀ (e⁷ˣ - 1)/9x                 7/9

12) lim ₓ→₀ (eˣ - e⁻ˣ)/x.                   2

13) limₓ→₀ (e¹⁵ˣ - e⁷ˣ)/x.                8

14) limₓ→₀ (e⁷ˣ + e⁵ˣ -2)/x.          12 

Type : 6

1) limₓ→₀ (3⁵ˣ - 1)/x.            5 log 3

2) limₓ→₀ (2³ˣ -1)/x.             3 log 2

3) limₓ→₀ (2ᵃˣ - 3 ᵇˣ)/x.   alog 2-b log 3

4) limₓ→₀ (12ˣ -3ˣ- 4ˣ +1)/x²  log 3. Log 4

5) limₓ→₀(aˣ - bˣ)/x.         log(a/b)

6) limₓ→₀ (10ˣ -2ˣ- 5ˣ +1)/x².   log 5. log 2

Continue......

Type : 7

1) lim ₓ→₀ {log(1+7x)}/x.               7

2) limₓ→₁ (log x)/(x-1).                   1

3) limₓ→₀ {log(6+x)- log(6)}/x.   1/6

4) limₓ→₂ {log(x) - log(2)}/(x-2).  1/2

5) limₓ→ₑ (logx  -1)/(x-e).           1/e

6) limₓ→₁(x²- x log x+ log x -1)/(x-1)   6

7) limₓ→₀ x{log(x+a) - log x}.       a 

8) limₓ→⁰ x{log(x+5) - log x}.       5 

9) limₓ→₄  (x⁷/²- 4⁷/²)/{ log(x-3)} 112

Continue.......

Type: 8

1) limₓ→∞ (4x-3)/(2x+7).            2

2) limₓ→∞(3x²+2x-5)/(x²+5x+1).  3

3) limₓ→∞ (x³+6x²+1)/(x⁴+3).      0

4) limₓ→∞(3x³+x²-1)/(x²-x+7).    ∞

5) limₓ→∞ (5x-6)/√(4x²+9).     5/2

6) limₓ→∞{√(3x²-1)-√(2x²-1)}/ (4x+3).                          (√3-√2)/4

7) limₓ→∞{√x √(x+c) -√x).        c/2

8) limₓ→∞{√(x²+x+1) - √(x²+1)}.   1/2

9) limₓ→∞{(x+1)(2x+3)}/{(x+2)(3x+4)}.             2/3

10) limₓ→∞ {x - √(x² - x)}.        1/2

11) limₓ→∞{√(x²+5x+4)- √(x²-3x+4)}.                                   4

12) limₓ→∞ 2x{√(x²+1)-x}.           1

13)  limₓ→∞{√(x²+1)-³√(x²-1)}/{ ⁴√(x⁴+1)- ⁵√(x⁴+1)}.                        1

14) limₓ→∞(5x³-3x+1)/(7x³+2x²-2). 5/7

15) limₓ→_∞(5-6x²)/(1++2x-3x²)  2

16) limₓ→∞(x√x+√x -1)/(5√x+1)  ∞

17) limₓ→∞ {(x+1)(2x+1)(3x+1)}/ {(x²+1)(5x-3)}.                             6/5

18) limₓ→∞{1²+2²+...+x²}/{(x-2)(x+3)(x-4)}.                             1/3

19) limₓ→∞{1+ 1/2 + 1/2²+.... to n terms}.                                         2

20) limₓ→∞{1+3+5+... to n terms}/(n² -1).                               1

21) limₓ→∞{2+5+8... to(2n+1)}/{1+2+3+.... to n terms}      12

22) limₓ→∞(1.2+2.3+3.4+...to n terms)/{(3-n)(n+1)(n+2).          -1/3

23) limₓ→∞{√(x²-2x+1) - √(x²-5x-3)}.              3/2

24) limₓ→∞ [³√x²{³√(x+1)- ³√x}]   1/3

25) limₓ→∞{(2x-1)³(x²+1)}²/{(x³-2x+1)(3x+1)}.                   8/3

26) limₓ→∞{(2x³-x+1)²(x²-1)³}/ {(3x+1)⁴(2x⁴-3x+1)²}.               1/81

27) limₙ→∞ (1+3+....+n)/n².   Or limₙ→∞ ∑n/n²                          1/2

28) limₙ→∞ ∑n³/n⁴                      1/4

EXERCISE -1

1) A manufacturer finds that the production cost of each article produced by his firm is ₹25 and the other fixed costs are ₹25000. If each article is sold for ₹35, Find

A) cost function.                     C(x)= 25000+ 25x

B) Revenue function.        R(x)= 35x

C) break even point.                 2500

2) The fixed cost of a new product is ₹35000 and the variable cost per unit ₹500. If the demand function p(x)= 5000 - 10x, find the break-even values.                          10, 35

3) The fixed cost in the variable cost of x units of a product of a company are ₹ 30000 and ₹75x respectively. If each unit is sold for ₹125, find break-even point.       600

4) A company decides to set up a small production plant for manufacturing clocks. The total cost of initial set up(fixed cost) is ₹9 lakhs. The additional cost (variable cost) for producing each clock is ₹300. Each clock is sold at ₹750. During the first month 1500 clocks are produced and sold.

A) determine the cost function for C(x) for producing x clocks.       300x + 900000

B) determine the revenue function R(x) for the sale of x clocks.     750x

C) determine the profit function p(x) for the sale of x clocks.          450x - 900000

D) what profit or loss the company incurs during the first month when all 1500 clocks are sold ?        225000

E) determine the break even point.           2000

5) The printing cost of 1900 and 1300 copies of a book are 5100 and 3700 respectively. Find the equation of the cost curve of printing assuming it to be linear. If the selling price is ₹3 per copy, find the number of copies that must be printed so that

A) there is no profit or loss.      y= 7x/3 + 2000/3, 1000 copies 

B) a profit of ₹ 40.         1600 copies

6) A publishing house finds that the production cost directly attributed to each book is ₹30 and that the fixed costs are ₹15000. If each book can be sold for ₹45 then find

A) cost function.           30x+15000 

B) the revenue function.            45x

C) break-even point.                 1000

7) A firm knows that the demand function for one of its products is linear. It also knows that it can sell 1000 units when the price is ₹4 per u6, and it can sell 1500 units when the price is ₹2 per unit. Find

A) demand function.       8 - x/250

B) total revenue function.   8x -x²/250

C) marginal revenue function.      8 - x/125

8) ABC Co. Ltd. is planning to market a new model of shaving razor. Rather than set the selling price of the razor based only on production cost estimates, management pulls the retailer of the razors to see how many razors they would buy for various prizes. From this survey it is determined that the unit demand function (the relationship between the amount x each retailer would buy and the price p he is willing to pay) is 

x= 1500 p + 30000

The fixed costs to the company for production of the razors are found to be ₹28000 and the cost for material and labour to produce each razor is estimated to be ₹8.00 per unit. What price should the company charge retailer in order to obtain a maximum profit?       at 14, ₹26000, 9000

9) 

EXERCISE -2

1) The unit demand function is x= (25- 2p)/3, where x is the number of units and p is the price. Let the average cost per unit be ₹40. Find

A) the revenue function R in terms of price p.                        (25 - 2p)/3

B) the cost function C.    40(25- 2p)/3

C) the profit function P.      (-2p² + 105p - 1000)/3

D) the price per unit that maximizes the profit function.          When p= 105/4

E) the maximum profit.    

2) The demand function faced by a firm is p= 500 - 0.2x and its cost function is C= 25x + 10000 (p= price, x= output and C= cost). Find

A) the output at which the profits of the firm are maximum.      1187.50

B) the price it will charge.    262.50

3) 

7) For a manufacturer of dry cells, the daily cost of production C for x cells is given by C(x)= ₹(2.05x + 550). If the price of a cell is ₹ 3. Determine the minimum number of cells those must be produced and Sold daily to ensure no loss.       579

9) The daily cost of production C for x units of an assembly is given by C(x)= ₹(12.5 x + 6400).

A) if each units is sold for ₹25, determine the minimum number of units that should be produced and Sold to ensure no loss.            513

B) if the selling price is reduced by ₹2.50 per unit, what would be the break-even point.                    640

C) if it is known that 500 units can be sold daily, what price per unit should be charged to guarantee no loss ?                    25.30

10) A firm produces x tonnes of output per week at a total cost of ₹(x³/10 - 5x² + 60x +100). Find

a) average cost.     x²/10- 5x + 60 + 100/x

b) average variable cost.    x²/10 - 5x + 60

c) marginal cost.      3x²/10- 10x+60

11) A calculator manufacturing company introduces production bonus to the workers that increases the cost of a calculator. The daily cost of production C for y calculators is given by C(y)= ₹ 2.05y + ₹ 550.

A) If each calculator is sold for ₹3, determine the minimum number that must be produced and sold daily to ensure no loss.          579

B) if the selling price is increased by 30 paise per piece, what would be the break even point ?             440

C) if it is known that at least 500 calculator can be sold daily, what price the company should charge per piece of calculator to guarantee no loss?                3.15

12) The total cost and the total revenue of a company that produces and sales x units of a product are respectively C(x)= 10x + 400 and R(x)= 60x - x³.  Find

A) the break-even values.     10 & 40

B) the values of x that gives a profit.       10< x < 40

C) the values of x that results in a loss.                        x< 10 and x> 40

13)  The total cost and the total revenue functions of a company that produces and sales x units of a particular product are given by C(x)= 5x + 350 and R(x)= 50x - x² respectively. Find

A) the break even values of x.      10 & 35

B) the values of x that produces a profit.                          10< x < 35

C) the values of x that result in a loss.           x< 10 and x > 35

14) The total cost and the total revenue of a company that produces and sells x units of a product are respectively C(x)= 5x +350 and R(x)= 50x - x². Find

A) the break-even values.       10 or 35

B) the value of x that produces a profit.                          10< x < 35

C) the value of x that results in a loss.                x< 10 or x> 35

15) The cost function C(x) of a firm is given by C(x)= 2x² - 4x + 5. Find

A) The average cost.       

B) the marginal cost when x= 10.            16.5 units, 36 units

16) A firm produces x units of a article at a total cost of ₹(5+ 48/x + 3x²). Find the minimum value of the total cost.                At x= 2, ₹ 41

17) A firm produces x units of output at a total cost of ₹(2x/3 + 35/2).  Find the cost when the output is 4 units, the average cost of output of 10 units, and the marginal cost when output is 3 units.           ₹20.16, ₹2.42, ₹0.67

18) A firm produces x units of output per week at a total cost of ₹(x³/3 - x² + 5x + 3). Find the output levels at which the marginal cost and the average variable cost attains their respective minima.                1, 1.5

19) A firm produces x tons of a valuable metal per month at a total cost C given by C= ₹(x³/3 - 5x² + 75x +10). Find at what level of output the marginal cost attains it's minimum.                        5 tons.

20) Let the cost function of a firm be given by the equation: C(x)= 300x - 10x² + x³/3, where C(x) stands for cost function and x for output. Calculate the output at which

A) the marginal cost is minimum.   10

B)  the average cost is minimum.    15

C) average cost is equals to Marginal cost.              15

21) The efficiency E of a small manufacturing concern depends on the number of workers w and is given by 10E = - w³/40 + 39w - 392. Find the strength of the workers which gives maximum efficiency.   20

22) A company after examining its cost structure and revenue structure has determined that the following functions approximately describe its cost and revenues:

C= 100 + 0.015x² and R= 2x where C= total cost, R= total revenue and x= number of units produced and Sold. Find the output rate which will maximum profits for the firm.    66.67

23) A firm can sell x items per week at a price p= (300 - 2x) rupees. Producing items cost the firm y rupees where y= 2x + 1000. How much production will yield maximum profits ?                74

24) The total revenue function and the total cost function of a company are given by R= 21q - q² and C= q³/3 - 3q² - 7q + 16 respectively, where q is the output of the company. Find the output at which the total revenue is maximum and the output at which the total cost is minimum.      10.5, 7

25) The demand function of a firm is p= 500 - 0.2x and its cost function is c= 25x - 10000, where p is the price and x is the output. Find the output at which the profit of the firm will maximum. Also find the price it will charge.          1187.5, 262.5

26) The demand function of a producer is 3q= 98 - 4p and its average cost is 3q +2, where q is the output and p is the price. Find the maximum profit of the producer.                33.75 units

27) A radio manufacturer finds that he can sell x radio per week at ₹p each, where p= 2(100 - x/4). His cost of production of x radios per week is ₹ (120x + x²/2). Show that his profit is maximum when the production is 40 radios per week. Find also his maximum profit per week.       1600

28) A manufacturer produces x units per month at a total cost of ₹(x²/25 + 3x + 100). There is no competition in the market and the demand follows the rule x= 75 - 3p, where p is the selling price per article. Find x such that the net revenue is maximum,. also find the monopoly price.                 30, 15

29) A firm produces x units of output at a total cost of ₹(300x - 10x² + x³/3). Find

A) output at which marginal cost is minimum.                      10

B) output at which average cost is minimum.                         15

C) output at which average cost is equal to marginal cost.             0, 15

30) The demand function of a monopolist is given by p= 1500 - 2x - x². Find the marginal revenue for any level of output x. Also, find marginal revenue when x= 0.     1160

31) A firm produces x tons of output per week of a total cost of ₹(x³/8 - 4x² + 12x +3). Find the level of output at which average variable cost attains minimum value.     16

32) The manufacturing cost of an item consists of ₹900 as overheads, the material cost is ₹3.00 per item and the labour cost is ₹ x²/100 for x items produced. How many items must be produced to have average cost minimum.                  300

33) The total cost function of a firm is C= x³/3 - 5x² + 28x +10. Where C is total cost and x is output. A tax at the rate of ₹2 per unit of output is imposed and the producer adds it to his cost. If the market demand function is given by

p= 2530 - 5x.

Where ₹ p is the price per unit of output, find the profit maximizing output and price.               50, 2280

34) Given the demand and cost functions:

p= 10 - 4x

C= 4x

Find

A) the maximum quantity, price and the profit on this level.              12

B) what will be the new equilibrium after a tax of ₹0.50 is imposed ?    12.25

*C) the tax rate that will maximizing tax revenue and determine that tax revenue.                 8

EXERCISE-A

1) If f(x)= 2x² - √x +1, find

a) f(4).                                        31

b) f(0).                                          1

c) f(1/4).                                  5/8

2) If f: x --> (x²-4)/(x-2) then find

a) f(1).                                        3

b) f(2).                         Undefined

3) If the function f: N --> N is defined by f(x)=√x, then find f(25)/{f(16)+f(1)}.     1 

4) If f(x)= x³/3 - x²/2 + x -16, then find  f(1/2).                    -187/12

5) if f(x)= 7x⁴- 2x³- 8x -5, find f(-1).       12

5) If f(x)=2x²- 3 √x +2, find

A) f(0).                                                     1

B) f(4).                                                     27

C) f(h+2).                          2h+3 - 3 √(h+1)

                                

6) Find {f(x+h) - f(x)}/h when

a) f(x)= 4x²+ 2x -3.               2(4x+ 2h+1)

b) f(x)= (1-x)/(1+x).      -2/{(1+x)(1+x+h)}

7) f(x)= (x²- 5x+6)/(x²- 8x +12), find

A) f(2).                                                     0

B) f(-5).                                                 

C) f(0).

D) f(a).

E) f(h+1).

F) f(h-1)

G) f(2+ h).

H) f(2/h).

8) If f(x)= (ax + b)/(bx + a), find f(x) f(1/x).   

9) if g(x)= (x - a)/x + x/(x - b), find the value of g{(a+b)/2}.

EXERCISE -B

1)         2x -1 when x≤2

If f(x)= x² -1  when 2 < x < 3

             2x +2 when x≥ 3 

Find

a) f(-1).                                                    -3

b) f(2).                                                      1

c) f(2.5).                                              5.25

d) f(3).                                                     8

e) f(3.5).                                                  8

2)   f(x) =  2x-1, when x≤ 0

                     x², when x > 0.

Find 

a) f(1/2).                                             1/4

b) f(-1/2).                                             -2

3)              1+x,  -1≤ x <0

If f(x)=        x² - 1,  0< x < 2

                      2x,    2 ≤ x

Find

a) f(3).                                             6

b) f(-2).                                            -1

c) f(1/2).                                        3/4

d) f(2-h)                                h²- 4h+3

e) f(-1+ h).                                       h

4)           3x-2 when x ≤ 0

If f(x)=   x+ 1 when x > 0

Find

A) f(-1).                                               -2

B) f(0).                                                 -5

5)           2x²+1 ; x ≤ 2

  If f(x)= 1/(x -2) ; 2< x ≤ 3

               2x -5 ; x > 3

Then find the value of

A) f(-1)

B) f(0)

C) f(√2)

D) f(-2)

E) f(4)

F) f(2.5)

EXERCISE - C

1) If f(x)= log{(1-x)/(1+x), then f(p) + f(q)= f{(p+q)/(1+pq)}.

2) If f(x)= 2x √(1- x²), then f(sin (x/2))= sin x

3) If f(x)= x(x-a)/(b-a) + x(x-b)/(a-b), then f(a) + f(b)= f(a+b).

4) If f(x)= (x-1)/(x+1), then {f(x) - f(y)}/{1+ f(x). f(y)}= (x-y)/(x+y)

5) If f(x) = (x-p)/x + x/(x-q) then f{(p+q)/2}= 4pq/(p² - q²).

7)  If f(x)= (ax+b)/(bx+a), then f(x). 

f(1/x)= 1.

EXERCISE - D

1) If f(x)= (ax + b)/(bx - a), find f{f(1/x)}.   1/x

2) If f(x)= (1- x)/(1+ x), then show that f{f(x)} = x.

3) f(x)= (x+1)/(x+2), find f{f(1/x)}.      (3x+2)/(5x+3)

4) if f(x) = (4x -5)/(3x -4), find the value of f{f(x)}.

5) if f(x)= 1/(1+ x) then find f[f{f(x)}].

EXERCISE - E

1) If f(2x -1)= (3x+1)/(x-1) then find f(2- x).                                           (11-3x)/(1-x)

2) f{(x-1)/(2x+1)= 2- x , then find f(3x-1).                        (2-5x)/(1-2x)

3) If f(2x-1)= (3x-1)/(x+1) find

a) f{f(4)}.                                          23/17

b) f{f(1-3x)}.                      (8-15x)/(8-9x)

4) If g(x -1)= 7x -5 then find the value of 

g(x +2).

5) if g(2x -1)= (x+1)/(x+2). Then find

A) g(x).

B) g(2)

C) g(0)

D) g(h+1)

E) g(2+ h).

F) g(2/h)

G) g(- x)

6) Given f{(x-2)/(x+3)= (x -1)/(2x+1), find the value of f(5 -2x)

7) f(x+3)= 3x²- 2x +5, then find the value of f(x -1).

8) If f(x +1)= x³ then find f(1- x).

EXERCISE - F

1) y = f(x)= (x+1)/(x+2). Then find

A) f(y).

B) f(1/x).

C) f{f(x)}.

2) y= f(x) =(ax + b)/(ax - a), then find the value of f(y).

3) If y= f(x)= (2-x)/(5+3x) and z= f(y), express z in terms of x.                (7x+8)/ (12x+31)

4) If y= (x -3)/(2x+1) and z= f(y), express z = f(x).

5) If y= f(x)= (5x+3)/(4x-5) then show that f(y)= x

6) If y= f(x)= (3x+1)/(3x-m) and f(y)= x, find m.                                                   2

7) If y= f(x)= (3x+4)/(5x-m) and f(y)= x, find m.                                                   3

8) If y= f(x)= (3x -5)/(2x-m) and f(y)= x, find m. 

EXERCISE - G

1)  If f(x) = 2x² - 5x +4, for w

hat value of x is 2f(x) = f(2x)

2) Let f(x) =10x²- 13x +13. Find the value of x for which f(x) =16.

3)  If f(x)= ax²+ bx + c and f(1)= 3, f(2)=7, 

f(3)=13, find the value of a, b, c.

4) If f(x)= a/x + b + cx and f(1)=5, f(-2)=2, f(-1)=-3. Then find the value of f(-3).

EXERCISE - H

E) Show that the following are even

1) 5ˣ + 5⁻ˣ

2) x(eˣ + 1)/(eˣ-1)

3) 1/x log √{x + √(x²+1)}.

EXERCISE - I

F) Show that following are odd

1) x + x³

2) 5ˣ - 5⁻ˣ

3) (eˣ + 1)/(eˣ -1)

4) log {(1+x)/(1-x).

5) log {√(1+x²)+ x}

6) log {√(1+x²) - x} 

7) If f(x)= x³ -(k-2)x²+ 2x, for all x and if it is an odd function, find k.  2

EXERCISE - J

G) Find the domain of the following

1) 1/(x²- 3x +2).

2) x²/(x²- 5x +6).

3) (x+3)/(x²- x -2).

4) (x²- 5x +6)/(x²- 8x + 12).

5) 1/(x²- 4).

6) x²/(x²- 25).

7) 1/(x²+1).

8) √(x -10)

9) √(x -a)

10) √(6 -x)

11) √(k -x)

12) √(x² - 5x +6)

13) √(x²- 3x +2)

14) √(x²- 7x +12)

15) √(x²- x - 2)

16) √(x²- 8x +12)

17) √(x²- 4)

18) √(x²- 25)

19) 1/√(x²- 5x +6)

20) 1/√(x²- 7x +12)

21) 1/√(x²- 3x +2)

22) 1/√(x²- 9)

23) 1/√(21-x)

24) 1/√(9- x²)

25) 1/√(16-x²)

EXERCISE- K

 Find the range of the following:

1) x/(1+ x²).

2) x²/(1+ x²).

3) x/(x² - 5x +9).

4) (3x-5)/(x² -1).

5) √(4- x²).

3rd sem

A) DEFINITION

A matrix is defined as a rectangular arrangement of numbers in rows and columns. e.g.,

A = 2     √3      4

       1     √2      0

B =  2           3      1     ≺ row 1

        5           6      0     ≺ row 2

        0           9      4     ≺ row 3

        |             |       |

     col. 1    col.2 col.3

NOTE:

1) A matrix is always denoted by a capital letters, like A, B, C, ...etc.

2) The number which are listed within brackets are known as

" Elements or Entries or Members" of the matrix.

3) Generally [ ] or ( ) brackets are used to donate a matrix.

4) The horizontal lines are known as " ROWS " and vertical lines are known as " COLUMNS ". Thus the matrix A has two rows and three columns. We say to be a rectangular (since, the number of rows is different from number of columns) matrix of order 2x3 and B to be a square matrix or order 3x3 (since, the number of rows is same as the number of columns).

• In other words we can say A matrix having m rows and n columns is called a matrix of order m x n (read as m by n).          

    a₁₁    a₁₂ ........   a₁ⱼ ....... a₁ₙ   

    a₂₁    a₂₂ .......    a₂ⱼ ....... a₂ₙ 

    ....     .... .......   .... ....... ....

    aᵢ₁    aᵢ₂ .......    aᵢⱼ ...... aᵢₙ

    ...      ... ......     ... ...... ...

    aᵤ₁   aᵤ₂ ......    aᵤⱼ ...... aᵤₙ

                      OR    

    a₁₁    a₁₂ ........   a₁ⱼ ....... a₁ₙ   

    a₂₁    a₂₂ .......    a₂ⱼ ....... a₂ₙ 

    ....     .... .......   .... ....... ....

    aᵢ₁    aᵢ₂ .......    aᵢⱼ ...... aᵢₙ

    ...      ... ......     ... ...... ...

    aᵤ₁   aᵤ₂ ......    aᵤⱼ ...... aᵤₙ

The elements aᵢⱼ occurs in the ith row and jth column is called

(i j)-th element. For example, a₃₂ is the element of 3rd row and 2nd column.

The matrix written above is also denoted by the symbol (aᵢⱼ)ᵤₓₙ or [aᵢⱼ]ᵤₓₙ where i= 1, 2, 3, ....., m and j= 1, 2, 3, ....,n.

     Different matrices are symbolised different capital letters as A, B, C etc. 

REAL METRIX : if the elements of a matrix be all real then the matrix is called a real matrix.

B) SOME DEFINITION OF METRIX:

a) ROW MATRIX: A matrix whose elements are arranged in one row only is called a row matrix.

For examples, [a₁ a₂ a₃ ........aₙ] is a row matrix. Clearly, the order of the matrix is 1 x n.

b) COLUMN MATRIX: A matrix whose elements are arranged in one Column only is called a Column matrix. For example,

     b₁

     b₂

     b₃

     .

     .

     .

     bᵤ  is a column matrix. Clearly, the order of the matrix is m x 1.

c) NULL or ZERO MATRIX : A matrix whose every element is zero is called a null matrix or zero matrix. A null matrix is generally denoted by O. A null matrix of order u x n is denoted by Oᵤ ₓₙ

Example )      ( 0 0 0)

or     0     0                  0     0       0 

        0     0          or     0     0       0

                                     0    0       0

are all null matrix 

d) SQUARE MATRIX: A matrix whose number of rows and columns are equal is called a square matrix. If number of rows = number of columns= n, then the matrix is called a square matrix of order n (or n x n square matrix). For example,                      a₁      b₁     c₁

                 a₂      b₂     c₂

                 a₃      b₃      c₃ 

is a square matrix of order 3 (or third order matrix).

DIAGONAL ELEMENTS: If A =[aᵢⱼ] be a square matrix, then elements where I = j are called diagonal elements and the straight line on which they lie is called the Principal diagonal or simply diagonal of the square matrix. For example, for the square matrix

    1       3         5

    4       6         8

    2       7         4   

is the diagonal elements are 1, 6, 4.

d) DIAGONAL MATRIX: A square matrix whose all the elements Except the elements in principal diagonal are zero is called a diagonal matrix. For example 

 a₁      0        0

 0       b₂       0

 0       0        c₃

is a diagonal matrix of order 3. And principal diagonal is  a₁ b₂ c₃ 

2     0

0     3 

 is a diagonal matrix of order 2. And principal diagonal is 2 3.

NOTE: 

1) A square matrix has two diagonals. The diagonal extending from left-hand top corner to right hand bottom corner is known as PRINCIPAL or MAIN or LEADING diagonal.

2) Atleast one element of the principal diagonal must be non-zero.

e) SCALAR MATRIX: A diagonal matrix whose elements on the principal diagonal are non-zero and all equal to each others is called scalar matrix for example

1) -2     0           2) 7       0      0

     0     -2                0       7      0

                                0      0       7

f) UNIT or IDENTITY MATRIX: A scalar matrix whose elements on the principal diagonal are all 1 is called a unit or identify matrix. An unit matrix is generally denoted by I. Sometimes the order of the unit matrix is also written as suffix of I. For example.  I₂ and I₃ are unit metrices of order 2 and 3 where 

  

I₂  = 1      0    and       I₃= 1   0     0

        0    1                         0   1     0

                                          0   0     1

NOTE: 

1) All the diagonal elements of the unit matrix should be + 1 only.

2) The diagonal matrix, scalar matrix and unit matrix all the square matrices i.e., in each of them the number of rows= the number of columns.

g) UPPER TRIANGULAR MATRIX:

This is a square matrix whose each element below the princpal diagonal is zero. Example

1) 2  3     2) 2  4  0         3) 2  0  0

    0  1           0 3  1              0  0  1

                     0  0  5              0 0  5

h) LOWER TRIANGULAR MATRIX:

This is a square matrix whose elements above the principle diagonal is zero. Example.

1) 2   0       2) 2   0   0      3) 0   0  0

    1    3           3   1   0           2  0   0

                       4   0    1           3 1   0

****************"*"*********""""***********

* ADDITION OF TWO MATRICES *

Two matrices can be added or subtracted only if they are of the same order and this is done by adding or subtracting the corresponding elements of two matrices.

PROPERTIES OF MATRIX ADDITION:

1) A+ B= B + A

2) A +(B+C)= (A+B)+C

3) A + O= O +A = A

Where A, B, C are the matrices of the same order and O is the null matrix of the same order.

Exercise - A

1) If A= 2      5 and B= 1     -3

            -3       7              2      5  

Find A+ B.                                      3        2

                                                       -1      12

2) If A= 3      -6 & B= 1      -3

             9        3          3       0 

find 2A+ B.                                7       -15

                                                  21         6

3) If A= 2      -3 and B= -1     6

              4       5               3     2  

Find 2A+ 5B.                             -1       24

                                                   23      20 

4) If M= 2      0 and N= 2     0

              1       2              -1    2 

Find M+ 2N.                               6        0

                                                   -1        6 

5) If A= 2      0 and B= 1     2

            -3       1              3     1  

Find 3A+ 4B.                               10        8

                                                       3        7

6) If A= 1      4 and B= -4     -1

             2       3              -3     -2  

Find 2A+ B.                                   -2        7

                                                       1        4

7) If A= 2      4 and B= 1     3

             3       2             -2     5  

Find 2A+ 3B.                               7       17

                                                     0       19

8) If A = -3      5 and B= 2    -3

              -9     11              6     7 

find 2A + 3B.                                   0       1

                                                         0       1

9) If A= -3     2     1  & B= 3    5    1

               1    -4     7          -1   4   -2 find A+ B.                                              0      7      2

                                                 0      0      5

10) If A= diag(1 -1 2) and B= diag(2 3 -1), find 

A) A+ B.                               diag (3 2 1)

B) 3A + 4B.                         diag(11 9 2)

11) If M= 2        0 and N= 2          0

                 1        2             -1          2  find

 M +N.                                      4          0

                                                 0          4

                                           

Exercise - B 

1) If A= 3   -1    7   &  B=   2    -2    -1

              0    1     2              1     2     3

Find A+ B.                          5      -3       6

                                            1       3       5   

2) If A= 0     2    3   & B= 7     6     3

              2     1    4            1     4     5

Find 2A+ 3B.                         21   22     15

                                                 7    14    23

3)       3     -1                 0   0 =    3    -1

If A=  2      1    & B=     0   0      2      1

          4     -2                 0    0     4    -2

Find A+ B.                                  3       -1

                                                    2       1

                                                    4      -2

4) if A = 1     2     3     B=  4    -2       -2

              0      3   - 5            6     2       -1

              1      0     0            1    -2        3  

 find 2A + 3B.                     14      -2        0

                                             18     12      -13

                                              5      -6         9

5)  1    2     3                3    -1     3 

A= 2    3     1   &  B =  -1     0     2

Find 2A + 3B.                        5      1       15

                                                1      6        5

6) A= 2      3        4 & B= 3     0       5

          0      4        6          5     3       2

          5      8        9          0     4       7 find 3A - 2B.                                 0      9       2

                                            -10     6      14

                                             15    16     13

7) A=1 -3   2  B= 2   -1  -1 C= -3   4     -1

          2  0   2       1    0   -1      -3   0     -1

Find 2A + 3B+ C 

8) If A=1     3      5 and B= 4      2      3

             0     4      1              1      3     -7

Verify 2(A+B)= 2A +2B

* SUBSTRACTION OF MATRICES *

If A and B are metrices of the same order, then A - B = A+ (-1)B. Hence if A= [aᵢⱼ]ᵤₓᵥ and B= [bᵢⱼ]ᵤₓᵥ then 

A - B = [aᵢⱼ]ᵤₓᵥ + (-1) [bᵢⱼ]ᵤₓᵥ

         = [aᵢⱼ -  bᵢⱼ]ᵤₓᵥ

Thus A - B is a matrix of the same order of matrix A and B, whose elements are the members obtained from substracting the corresponding elements of B from A. for example, if

A= x₁   y₁    z₁                   a₁  b₁  c₁

      x₂   y₂    z₂   and B=   a₂   b₂  c₂

      x₃   y₃    z₃                  a₃   b₃  c₃

then,

A - B= x₁- a₁    y₁-b₁       z₁ - c₁

           x₂ -a₂     y₂- b₂      z₂ -c₂

           x₃ -a₃     y₃ -b₃      z₃ -c₃

NOTE: 

1) Since  - A= (-1)A = (-1) [aᵢⱼ]ᵤₓᵥ i.e., all the elements of A with sign changed, hence - A is called the negative matrix of matrix A.

Again, since A +(- A)= (- A)+ A=0, so - A is called the additive inverse of A.

2) If A + B = A + C, or

        B + A = C + A, then B = C, where A, B, C are matrices of same order.

Exercise - C

1) If A = 2      4 and B = 3       6

               5      6               5       4 

Find A- B.                                     -1      -2

                                                       0       2

2) If A= 3       -6 & B= 1       -3

              9        3          3        0 

find A-2 B.                                 1         0

                                                   3         4

3) If M= 2      0 and N= 2      0

              1       2             -1      2  

 Find:

A) 2M - 3N.                             -2       0

                                                  5      -2

                                 

B) 2(M - 3N).                            16        0

                                                    8       -8

C) 2M - N.                                    2        0

    

                                                     3         2

D) 7M - 5N.                         4        0

                                            12      4

4) If A= 7    6    3 and B = 0     2       3

              1    4    5               2     1       4

Find 3B - A.                             21    16    6

                                                  1     11   11

5) if A= 1       2 &  B= -2        3

             -2       3            1        2 

find 7A - 5B.                         17        -1

                                             -19        11

6) If A= diag(2 -5 9), B= diag(1 1 -4) and C=(-6 3 4) find

i) A- 2B.                               diag(0 -7 17)

ii) B+C - 2A.                       diag(-9 14 -18)

iii) 2A + 3B-5C.                diag(37 -22 -14)

Exercise - D

1) If A = 2       4 and B = 3       6

               5       6               5       4 

find X if 3A + 4B - 2X= 0.           9        18

                                                   35/2    22

2) If A= 5      -4 & B= 3       -2

           -11       6        -1        4 find the Matrix X when A+ 2X = 3B.         2     -1

                                                        4      3

3) If B= -2    2    0    C= 2     0     -2

               3    1     4         7     1      6 find the value of A as the relation 2A- 3B + 5C = 0.                                    -8       3       5

                                      -13     -1      -9

4) If A= diag(2 -5 9), B= diag (1    1   -4) and C= diag (-6   3   4) find

A) A- 2B.                              diag(0 -7 17)

B) B+ C - 2A.                     diag(-9  14  -18)

C) 2A + 3B - 5C.            diag(37  -22  -14)

5)  if A= 1     2      B= -2     3   C= 0      3

              -2     3             1     2         2    -1 

find

i) A + 2B - 3C.                        -3           -1

                                                -6           10

ii) 3A - 4B + C.                       11         0

                                                 -6        -1

iii) A - 3B + 2C.                         7         -1

                                                  -1        -5

6) Let A= -1   0  2  B=0  -2  5 & C= 1  -5  2

                  3   1  4      1  -3  1          6   0  -4 Compute 2A - 3B + 4C.         2    -14     -3

                                               27     11   -11

7) if A = 1     2      3  & B= 4    -2     -2

               0     3   - 5            6     2     -1

               1     0     0            1    -2      3  

a) If 3A + X = B find X.         1      -8      -11

                                                6      -7      14

                                                0      -2       3

b) if X - 3B = 2A find X.       14      -2       0

                                               18     12    -13

                                                5      -6        9

8) If A - 2B= -7     7 & A - 3B= -11        9

                       4    -8                    4       -13 find the Matrix A and B.

** EQUALITY OF TWO MATRICES:

Two matrices are said to be equal if

1) they are of same orders.

2) each element of one is equal to the corresponding element of the other. For example, if A and B are matrices both of order 2x 3 and

A = a   b  c and B = p   q    r

      d   e   f                x     y    z

Then A= B implies a= p, b= q, c= r, d= x, e= y, and f= z.

  EXERCISE-E 

Type-2                    

1) x      7        +     6      -7     =   20         7

    9     y-5              4       5          22       15

find x and y.                                      14, 22

2) a      3    +  2      1      -    1     b =  5       0

    4       2        1     -2          -2    c     7       3

find a, b, c.                                    4, -1,3

3) If A= 2a - b     4       =      2     4

                 3       a+2b           3     6 find the value of a and b.                              2,2

4) If x+y       2     = 6        2

          5         xy       5        8 find the value of x and y.                            2, 4 or 4, 2

5) If A=2    a   B = -2     3   C = c        9

            -3    5          7      b         -1     -11

and 5A + 2B = C find a, b, c.     6/5, -18,6

6) If A= x     y  B= 1     -1  & C= 3       5

             z      t        0      2           4        6 with the relation 2A+ 3B = 5C then find the value of x,y,z and t.                6,14,10,12   

7) x -y       y+ z    =   t - x        t - z

     2+ t     3+ t          z+ y         6   find x,y,z,t.                                      5,7,-2,3

8) y+ z     x +z   = 9 - t      8- t

     7 - t     6 - z       x+ y     x+ y find the value of x,y z.                               1,2,3,4

9) x - y       2z+ w     = 5       3

    2x- y       2x+ w       12     15 find the value of x, y, z, w.                         7,2,1,1

10) 2x+1       3y     = x+3      y²+2

           0       y²-5y        0          -6 find the value of x and y.                                2,2

11) x+3    z+4     2y-7  =    0         6      3y-2

     4x+6    a-1        0          2x       -3      2c-2

        b-3     3b     z+ 2c    2b+4   -21        0 find the value of a, b, c, x, y z.            -2, -7, -1, -3, -5, 2  

12) If A= 2    0    -4 B= 1   -2   0    C= 2

                1    4     2      2   -1   3          0

                                                          1 Find the Matrix C with the relation (3A - 2B)C = D.                                                       -4

                                                              -2

13) A= 1   2    3 B= 1   0   2 C= 4   4    10

            -1  -3    2      3   4   5       4   2    14 find the value of k if 2A+ kB=C.         2

Type- 2

14) If X + Y = 7      0 and X - Y= 4      -1

                        2     3                     5     -2

find metrices X And Y.     

         11/2      -1/2            3/2         1/2

          7/2        1/2           -3/2         5/2

15) A+ B= 2    2            2A+ 3B= 5    4

                  0    2  and                   0    5 then find the Matrix A and B.        

           1      2                   1        0

           0      1                   0        1

16) If A+B= 1     2     0   A - B= 3    0      2

                     3     5    4               1    1      0

Find the metrices A and B  

         2      1     1            -1       1     -1     

         2      3     2             1       2      2

17) If A+B= 2        2 and A - B= 5        4

                     0        2                    0        5

Find the metrices A and B. 

         7/2      3          -3/2       -1

          0        7             0        -3/2          

18) If 2P + Q= 4     5 & P + 2Q= 2       4

                          3     8                   3       1 Then find the value of P+ Q.      2       3

                                                       2       3

19) If 2A+ B= 4   4   7 & A- 2B = -3    2    1

                    7     3    4                    1   -1    2 find the Matrix A and B

     1      2      3               2      0      1

     3      1      2               1      1      0

20) If 2x -y= 6   -6    0 & x +2y =3   2     5

                     -4    2    1                -2   1    -7 find the Matrix x and y.   3  -2  1    0  2   2

                                          -2   1  -2   0  0  -3

21) If 2A+B=  4        7        16 

                        7      -3        12

                   .   13      6         2

And 3B - A= 5       0         13

                     7      -2           8

                    11      4          -1

Find metrices A and B 

      2     1     6           1     3     5

      3    -1     4           2    -1     4

      5     2     0           4     2     1

22) If A + 2B = 1        2          0

                          6        -3          3

                         -5         3          1

and 2A - B=     2         -1            5

                          2        -1            6

                           0         1            2

Find metrices A and B.

      0         5/3       -5/3       1   1/3      10/4

    10/3    -5/3          0      -2/3  1/3        3

   -10/3   5/3            0      5/4  -1/3        1

23) X - y = 1    1   0 and x+ y= 3      5      1

                  1    1    0                 -1       1     4

                  1    0    0                  11     8     9 find Matrix x and y.     2     3   1   1    2    0

                                      0     1   2   -1    0    2

                                      6      4   0    5   4    0

MULTIPLICATION OF A MATRIX BY A SCALAR :

Multiplying a matrix by a real number is called multiplication of a matrix by a scalar.

If k is a real number (scalar) and A be a matrix, then their product kA is defined by the matrix of the same order as A, whose elements at each position is k times that of A. i.e., if A = [aᵢⱼ)ᵤₓᵥ, thenkA =ln([kij]ᵤₓᵥ

PROPERTIES OF MULTIPLICATION OF A MATRIX BY A SCALAR:

Let p,q are any two scalar and A and B are metrices of the same order then

PROP 1). (p+q)A= pA + qA

PROP 2) p(A+B)= pA + pB.

PROP 3) p(qA) = (p q)A or 

               (p q)A = p(qA)

Exercise - F

1)  If A = 1       3      B = 4        -5

                 2     -2            3        -1    Find 

i) AB.                                    13       -8

                                               2      -12

ii) BA.                                 -6          22

                                             1         11

iii) A².                                      7       -3

                                               -2       10

iv) (AB)².                              153       8

                                                2       128

v) A² - B².                                     6       12

                                                   -11      24

vi) A² - 2B.                                -1         7

                                                  -8        12

2) If A = 1     2   B= 3      4     C= -1       0

               5    -4         0     2            2      -2

find i) ABC

ii) (A+B)C

iii) A² - BC

iv) AC + B²

v) (A+ B) (A - B)

vi) AC + B²

3) If A= 3    5 & B= 1      6

              1   -2        -4       3 show AB≠ BA

4) A= 2    0 & B= 3      0

           3    1          3      2 show AB = BA

5) A= 2     1 & B= 1     -2

          1     2         -1      2 show AB = B

6) If A = 1    2     3  and B = 6     -2     -3

               1    3     3               -1      1      0

              -1    0     1                1      2      4

evaluate AB , BA

7) If A = 1         -2        1   

             -1           2      -1    show A² = A

              -2           4      -2

8) If A= 1      -1 and B= 1           1

              -1       1              1          1

prove AB=0.

9) If A = 1        2     1 & B= 1      4        0

               1       -1     1        -1       2        2

               2        3     1         0       0        2

Find AB - 2B

10) If A= 3      2.   5 B= 1      2 & C= 7    - 8

                2      -4             0     2         -1      5     Find AB - C

11) If A= 0     1     2    B = 2    1    3

                 1    2     3          -1    0    1

                 3     1    1           3   -1    4

Verify AB≠ BA

12) If A = 1    2    3 and B= 6     -2     -3

                 1    3    3             -1      1      0 

                 1    2    4             -1      0      1

Check AB = BA

13) If A=2     -3     -5 and B= -1      3        5

              -2      4      5               1     -3       -5

               1     -3     -4              -1      3        5

Prove AB≠BA

14) If A= 1        & B= 1     2      3 find BA

                2

                3

15) If A is 3    -2    0  &    B= 2 find BA

                                                0

                                                3

16) If A= 2     3     -1  B= 1 & C= 1     -2

                3      0      2       1

                                          2

Verify A(BC)≠ (AB)C

17) if A= 0    1    0        & B = 0     0        1

                0    0    1                 1      0        0

                1    0    0                 0      1        0

verify i) A²= B     ii) B² = A 

18) If A=  2        -1

               - 1        2 show that A²- 4A+ 3I = 0, where I is 2 x2 unit Matrix and 0 is 2x2 zero Matrix. 

19) If I= 1    0 & B= 3     2

               0     1         2     1 show that A²- 4A - I= 0, where 0 is the zero Matrix of order 2 

20) If A= 4      3 and B= 1      0

                2      5              0      1 find the values of x and y so that A² - xA + yI =0, where 0 is the zero Matrix of order 2.   9, 14

21) If A = 2   -1 show A² - 4A + 3I =0

               -1     2

22) If A = 2       0      1 find A² - 5A + 6I

                2        1      3

                1      -1       0

23) If A = a        b     

                 c        d

show A² - (a+d)A+(ad-bc) I=0

24) for what values if x,y,z If A .A = I′   &

 A= 0          2y          z

       x           y          -z

       x          -y           z

25) A= 1      -1 and B = 1        x

              2     -1               4        y     and 

   (A +B)² = A² + B² then find x,y.

26) if A= 6       5   & C= 11      0

                5       6             0      11 find Matrix B such that AB= C.      6      -5

                                                   -5       6

MATRIX NOTATION:

       A₂ ₓ ₃ = a₁₁  a₁₂ a₁₃

                    a₂₁  a₂₂ a₂₃

The above notation means that A is a matrix having two rows and three columns. a₁₁ is the element situated at the junction of 1st row and 2nd Column, a₂₃ is the element situated at the junction of 2nd row and 3rd Column, etc.

Example  Let B₃ₓ₂ = 4    -1 

                                    0     2

                                    1     4

then b₁₁ = 4,  b₁₂ = -1, b₂₁=0, b₂₂= 2,

 b₃₁ = 1, b₃₂= 4.

NOTE : A matrix A having m rows and n columns is also denoted (aᵢⱼ)ᵤₓₙ .

 Example: 

Construct a 2x 2 matrix A = (aᵢⱼ) whose elements are given by aᵢⱼ=(1+2j)²/2

Solution)

A= a₁₁  a₁₂ 

      a₂₁  a₂₂  

Where, a₁₁= (1+2x1)²/2= 9/2

 a₁₂ = (1+2x2)²/2 = 25/2

 a₂₁ = (2+ 2x1)²/2= 8

 a₂₂  = (2+ 2x2)²/2= 18

So required matrix A= 9/2   25/2 

                                        8       18

Exercise - G

1) construct a 2 x 2 matrix A = [aᵢⱼ] whose elements are given by

A) aᵢⱼ = (i+j)²/2.                   2          9/2

                                           9/2           8

B) aᵢⱼ = (i -j)²/2.                   0           1/2

                                            1/2          0

C) aᵢⱼ= (i- 2j)²/2.              1/2          9/2

                                           0              2

D) aᵢⱼ= (2i-j)/2.                1/2       0

                                         3/2       1

E) aᵢⱼ= |2i -3j)|/2.               1/2         2

                                            1/2         1

F) aᵢⱼ= |-3i+ j|/2.                   1         1/2

                                            5/2          2

2) construct a 2x2 Matrix A = [aᵢⱼ] whose elements are given by aᵢⱼ= (i - j)/(i + j).

                      0        -1/3      

                    1/3          0       

3) Construct a 2x3 Matrix whose elements aᵢⱼ are given by:

A) aᵢⱼ= i. j.                         1    2    3

                                          2   4    6

B) aᵢⱼ= 2i - j.                           1     0     -2

                                               3     2      1

C) aᵢⱼ= i+ j.                          2       3     4

                                            3       4      5

4) Construct a 2x2 Matrix whose elements aᵢⱼ are given by:

A) (i+j)²/2.                             2         9/2

                                              9/2         8

B) (i -j)²/2.                                  0       1/2

                                                 1/2       0

C) (2i+j)²/2.                                9/2        8

                                                   25/2     18

D) aᵢⱼ= |-3i+ j|/2.                  1       1/2

                                           5/2        2

5) Construct a 2x3 matrix A= [aᵢⱼ] whose elements are given by

A) aᵢⱼ= (i - j)/(i+j).          0    -1/3      -1/2

                                     1/3       0       -1/5

B) aᵢⱼ= i. j.                             1      2      3

                                              2      4      6

C) aᵢⱼ = 2i - j.                          1     0      -1

                                                3     2      1

D) aᵢⱼ = i +j.                          2       3       4

                                             3        4       5

E) aᵢⱼ = (i+j)²/2.              2       9/2       8

                                      9/2       8      25/2

6) Construct a 3x4 matrix A= [aᵢⱼ] whose elements aᵢⱼ are given by:

A) aᵢⱼ= i+ j.                     2      3     4       5

                                       3      4      5      6

                                       4      5      6      7

B) aᵢⱼ= i - j .                 0     -1    -2      -3

                                    1      0    -1      -2

                                    2      1     0      -1

C) aᵢⱼ= 2i.                      2      2       2     2

                                      4      4       4     4

                                      6      6       6     6

D) aᵢⱼ= j.                       1       2       3     4

                                     1       2       3     4

                                     1       2       3     4

E) aᵢⱼ = 1/2 |-3i+j|.      1     1/2    0     1/2

                                    5/2    2    3/2     1

                                     4     7/2    3     5/2

7) Construct a 4x3 matrix elements

A) aᵢⱼ= 2i + i/j.          3.       5/2.     7/3

                                  6          5       14/3

                                  9       15/2       7

                                 12        10     28/3

B) aᵢⱼ=(i-j)/(i+j).          0     -1/3       -1/2

                                  1/3      0         -1/5

                                  1/2     1/5          0

                                  3/5     1/3.       1/7

 Exercise - H

1)If A = 2.    4    -1 and B = 3       4

             -1     0     2              -1        2 

                                              2        1  

Find 

i) A′

ii) A′ +B′

iii) (A - B)ᵗ

iv) (AB)′ 

v) Aᵗ Bᵗ

2) If A= 2       1 and B= 1       -2

              3      4             -1        1

Prove (AB)'= B ' A '

3) If A = 0           -1

               2           3

Prove (A ')' = A

4) If A = 4     2    -1 and B= 2        3

                3   -7     2             -3        0

                                              1        5

Find possible or not A+B, A - B , AB, BA

5) Let A= 2    -3   &  B= 1      0

                -7     5             2     -4 Verify

A) (2A)'= 2A'

B) (A+ B)'= A' + B' 

C) (A - B)'= A' - B'D) (AB)' = B' A' 

6) Let A=1   -1    0  & B= 1    2     3

                2     1    3           2    1     3

                1     2    1           0    1     1 verify

A) (A+ B)'= A'+ B' 

B) (AB)'= B' A' 

C) (2A)'= 2A' 

7) If A= 2    1     3 & B= 1     -1

              4    1     0          0      2

                                        5      0 verify

(AB)'= B' A' 

Exercise - I 

** A square Matrix A is a symmetric Matrix iff A'= A 

** A square Matrix A is a skew-symmetric Matrix iff A'= - A 

*** Sum of a symmetric and skew-symmetric Matrix= 1/2 (A+ A')+ 1/2 (A - A')

1) If A= 3    -1     1

             -1     2     5

              1     5    -2 is a symmetric Matrix.

2) if A= 0    2     -3

             -2    0     5

              3   -5     0 is a skew-symmetric Matrix.

3) If A= 2    3

              4    5 Prove A- A' is a skew-symmetric Matrix

4) if A= 3     -4

              1     -1 show that A - A' is a skew-symmetric Matrix.

5) If A= 5     2     x

              y      z    -3

              4      t    -7 is a symmetric Matrix, find x,y z, t.                          4, 2 ,        -3

6) Express the Matrix A as the sum of symmetric and skew-symmetric Matrix

A= 4      2       -1

      3      5        7

      1     -2       1

7) Express the Matrix A as the sum of symmetric and skew-symmetric Matrix

A= 3      -4

      1      -1

8) Let A= 3     2      7

                 1     4      3

                 2     5      7 Find matrix X and Y such that X+Y = A, where X is a symmetric and Y is a skew-symmetric matrix.

9) If A= 2         4

              5          6 Prove A+A' is a symmetric matrix where A' is the transpose of A.

EXERCISE -J

Find the determinants of

1) 2          -3   

     4           1                                           14 

2) 4        2       -3 

    1         4        4                                    4

3) 2        3       -1

    4         1        2

    3          1       -1                                  23

4) 1         0        1

     2        -1        1

     3         0         1 

5) 2       3       -4

    1        3      -1

    3        1        4                                      37

***Evaluate Expanding by 2nd row:

6) 2      0      -1

    1       3       2

   -2        4       1                                   -20

2) 3      -2      1

     1       0      1

     2       4       5                                      2

EXERCISE - K

A) Find the cofactors of a₂₁ & a₂₂

1) A= 2        -3

          1         4                                   3, 2

2) -4         1

       3       -2                                     -1,-4

B) Find the cofactors of a₁₃, a₂₂, a₃₂

1)   0       -1       2

A= -3        4      -5

       6       -7       8                        -3,-12,-6

2)    2       4       -6

 A= -8       4       3

        2      -4       1                     24, 14, 42

EXERCISE - L

Find the adjoint of the following:

1) a      b                                         d     -b

     c      d                                       -c       a 

2) -3      5                                       4      -5

      2     4                                      -2       -3

3) p         q                                    s       -q

     r          s                                   -r         p 

4)  - 2       3                                    4      -3

    - 5         4                                   5       -2 

5)   1         -3                                  1       3

       2          1                                 -2       1

6) cosx       sinx                     cosx    - sinx 

    sinx        cosx                    -sinx      cosx 

7) 1            tan(x/2)               1     -tan(x/2)

  - tan(x/2)     1               tan(x/2)       1

8) 1        2      2                        -3     2       2

    2        1       2                        2     -3       2

    2        2       1                        2      2      -3

9) 1        2      5                         2     3    -13

     2       3       1                       -3      6      9

    -1       1       1                        5     -3     -1

10) 2       -1       3                  -22    11    -11

      4         2       5                    4      -2       2

       0         4      -1                   16     -8      8

11) 2         0      -1                   3     -1       1

       5         1       0                -15      7      -5

       1         1       3                   4      -2       2

12) cosx    - sinx     0          cosx    sinx    0

       sinx       cosx    0         -sinx     cosx   0

         0            0        1             0         0       1

13) 1    1    1                   9       -1      4

       2    1   -3                  -3        4      5

      -1     2   3                    5      -3     -1

14)  2     -1      3             -22     11       -11

        4      2      5               4      -2          2

        0      4     -1              16     -8          8

15) -6      0      3               7      -15      -3

       -2      1      1               0        0        0

       -4     -5      2              14     -30      -6

16)     -4       -3       -3

If A=    1        0        1

            4         4        3

Show that adj A= A

17)      1       -2         3

If A=    0        2        -1

           -4        5          2

Find A(adj).                       25       0         0

                                            0        25        0

                                            0         0        25 

EXERCISE - M

State which of the following are INVERTIBLE :

1) 2       -3

     2        3                                          YES 

2) 4         -1

    -4          1.                                       NO 

3) 5       2       -3

     4      -5        2                                NO 

     0       3       -2

4) 1      1       -1

     2      3        1.                               YES.  

     1     -1       -2

*** FIND the condition for which the following matrices are INVERTIBLE 

1) a           b 

     c           d                                ad-bc≠ 0 

2) sinx         cosx 

   -sinx           cosx (0≤0≤π/2).       0≠0,π/2 

 Find the inverse of following:

1) 2     -1                               4/11       1/11

     3     4                              -3/11       2/11

3) cosx       sinx                 cosx       -sinx 

     -sinx      cosx                 sinx       cosx 

4) 0         1                            0           1

     1         0                            1           0

5) a         b                     (1+bc)/a     -b

     c.   (1+bc)/a                 - c            a 

6) 2        5                          1/17       -5/17

    -3        1                          3/17        2/17 

7)   1        tanx            cos²x        sinx cos 

   -tanx       1               sinx cosx      cos²x 

8) If A=3     2 & B= 6       7

             7     5          8       9 then find the value of (AB)⁻¹.                  -47          39/2

                                              41          -17

9) 1     3     3                         7      -3      -3

    1     4      3                        -1       1       0

    1     3      4                        -1       0       1

10) 1     2    3             -5/18    1/18    7/18

       2     3    1              1/18    7/18   -5/18

       3     1    2               7/18    -5/18   1/18

11) 1    2     5             4/27    17/27    3/27

       1   -1    -1            -1/27    11/27     2/9

       2    3    -1              5/27    1/27     -1/9

12) 2    0    -1                   3         -1          1

       5    1     0                -15          6         -5

        0    1     3                  5          -2          2

13) 1       0         0             1       0              0

       0  cosx    sinx           sinx   cosx       0

       0   sinx   -cosx           0      sinx    -cosx

14) 0      0      -1                -2     1          1

       3      4       5               14   -1/2    -3/4

       -2    -4      -7               -1       0        0 

*** FIND A If: 

1)         2       - 1                              2         1

   A⁻¹= -3         2                              3         2 

2)    2      -1     3                    -2       2      4

A⁻¹=1       1     1                     0       1     -1

        1      -1    1                      2      -1     -3 

EXERCISE -N

Prove that 

1) a) A=2    3

             5    -2 then A⁻¹ = A/19 

2) if A=.  4       5

                2       1   Verify A= 5I +6A⁻¹

3) show A = 2     -1 and B = 2

                      4      3              -3

 and AX = B Find  the matrix X.

4) If A= 1      -2 & B= 6      0

              1      4           0      6 Find the Matrix C If CA = B.                      4      2

                                                      -1       1

5) If A= 2    1 B= -3     2 & C= 1     0

              3    2       5     -3          0     1 find Matrix X if AXB= C.                         1       1 

                                                          1       0

6) If A= 1     -4 B= -16      -6

              3     -2        7         2 find the Matrix X if AX= B.                     6          2

                                                 11/2       2

7) A= 5     4 & B= 1     -2

          1     1          1       3 find the Matrix X as the relation AX = B.                 -3     -14

                                                        4       17

8) If A=   3    2  B= -1       1 & C= 2        -1 

                7     5       -2       1          0         4 find the Matrix X as AXB= C.      -16     3

                                                         24    -5

9) If A=   5      3 & B= 14     7

               -1     -2           7       7 find the Matrix X as XA= B.                    3        1

                                                      1       -2

10) if A= 2        -1

               -1         2   

satisfies the relation A² - 4A + 3I =0 hence find A⁻¹

11) If A = 1       1 

                 2       3   

prove A² - 4A +5I=0. Hence find A⁻¹. 

                                              3/5          1/5

                                             -2/5          1/5

12) If A = 4       5 satisfies A² - I=10A

                 5        6 Hence find A⁻¹

13) A= 2     -3

             3      4 satisfies the equation x²- 6x+17= 0. Hence find A⁻¹.      4/17   3/17

                                                  -3/17  2/17

14) If A= 3       2

                2        1

Prove A² - 4A - I= 0 where I= 2x2 metrics and 0 is Null metrics. Then find inverse of A.

15) If A= 2      -1

               -1       2

Prove A² - 4A + 3I = 0 where I= 2x2 metrics and 0 is Null metrics.

16) A= 2     3

             1     2 verify A²- 4A + I= 0, then find A⁻¹.                                        2       -3

                                                      -1        2

17) A= 3      1

             7      5 find x and y so that A² + xI = yA. Hence, find A⁻¹.     8,8       5/8   -1/8

                                                      -7/8    3/8

18) A= 3       2

             1       1 find a and b so that A² + aA+ bI = 0. Hence, find A⁻¹. -4,1     1     -2

                                                           -1     3

19) If A= 4      5

                2      1 find A⁻¹ and show that 2A⁻¹ =9I - A.

20) If A= 4        3

                 2       5 find x and y such that A² - xA + yI = O. Hence, find the value of A⁻¹. 

                             9,14        5/14      -3/14

                                           -1/7            2/7

21)A= 1   2     2 satisfies  A²-4A-5I=0

            2   1     2   and, Hence find A⁻¹

            2   2     1               3/5    2/5    2/5

                                         2/5    -3/5    2/5

                                         2/5     2/5   -3/5

22) IfA= 2     2      0 then A³-13A+12I=0

              2     1      1  . Hence find A⁻¹

             -7     2     -3

23) A= 1      2      3

             3     -2      1 show A³ -23A-40I=0

             4      2      1  Hence find A⁻¹

24) If A= 1      0      -2

               -2     -1       2

                3      4       1 Show that A³- A²- 3A - I = O. Hence find A⁻¹.       -9    -8    -2

                                                    8     7     2

                                                  -5    -4     -1

25) If A = 1     0     -2

                2      2      4

                0      0      2

Find A² - 3A + 2I where I= 3x3 then find Inverse of A.

EXERCISE -O

Find the inverse of each of the following matrices by using elementary row transformation:

A)

1) 5       2                                     1       -2

    2        1                                   -2        5

2) 1       6                               5/23     -6/23

    -3      5                               3/23      1/23

3) 7      1                                3/25     1/25 

    4     -3                                4/25     -7/25

4) 3     10                                 7         -10

     2      7                                -2            3

B)

1) 0    1    2                     1/2   -1/2    1/2

    1     2    3                     -4        3       -1

    3     1    1                   5/3    -3/2    1/2

2) 2      0    1                   3       -1         1

    5      1    0                  -15      6        -5

    0      1    3                   5       -2         2

3) 2     3    1                   1       1         -1

    2     4    1                  -1       1           0

    3     7    2                   2     -5            2

4) 3     -3    4                 1     -1          0

    2      -3   4                -2      3         -4

    0      -1   1                -2      3         -3

5) 2     -1    4               -2     1/2         1

    4       0    2              11   -1/2        -2

    3     -2    7                4    -1/2        -2

EXERCISE - P

Solve:

1)

A) 5x - 7y =2, 7x - 5y =3,.       11/24, 1/24

B) x - 2y -4 =0, -3x +5y+7 =0,          -6,-5

C) 3x+ 4y =5, x-y =-3.                     -1,2

D) ax+ by=c, a²x +b²y =c².

E) 3/x - 5/y =1 , 2/x +3/y = 7.

F) a/x -b/y =a , a/y - b/x =b.

G) 5x +7y =-2, 4x +6y+3=0.       9/2,-7/2

H) 5x +2y =3, 3x +2y=5.                   -1,4

I) 3x +7y =4, x +2y+1=0.                 -15,7

2)

A) x+y-z=3, 2x+3y+z=5 , 3x-y-7z=1.   3,1,1

B) x+ 2y+z=7; x+ 3z=11; 2x-3y=1.   2,1,3

C) 2y-3z=0, x+3y= -4, 3x+4y =3

E) x+y-6z=0, -3x+y+2z=0, x-y+2z=0

F) x+y+z=4, 2x-y+2z=5 , x-2y-z=-3

F) (a+b)x - (a-b)y= 4ab,      

     (a-b)x + (a+b)y = 2(a² -b²)

G) 1/x +2/y+ 3/z=2

     2/x +4/y +5/z =3

     3/x +5/y+6/z= 4

H) 2/x +3/y +2=0

     5/y - 2/z -4 =0

     3/z +4/x +7=0

 

Continue.......

Mg. A- R.1

1) If A = 2      -1

              -1       2 and I is the unit Matrix of order 2, then A² is:

a) 4A -3I b) 3A -4I c) A - I d) A + I 

2) The multiplicative inverse of 2     1

                                                       7     4

a) 4   -1 b) 4   -1 c) 4    -7   d) -4    -1

   -7    -2    -7    2     7     2          7   -2

3) A is a square Matrix such that A³ = I; then A⁻¹ is:

a) A² b) A c) A³ d) none 

4) Assuming that the sums and products given below are defined, which of the following is not true for Matrices?

a) AB = AC does not imply B= C

b) A + B = B+ A

c) (AB)' = B'A'

d) AB = 0 implies A=0 or  B= 0

5) If A= 1    0    2     B= 5      a      -2

             -1    1   -2          1      1       0

              0    2    1         -2     -2       b then the value of a and b are:

a) -4,1 b) -4 , -1 c) 4 ,1 d) 4 , -1

6) If A= -1     0

               0     2 then the value of A³ - A² is

a) I     b) A  c) 2A   d) 2I

7) If A= -x         -y 

               z          t then transpose of adj A is

a) t       z   b) t       y  c) t     - z    d) none

   -y      -x      - z    -x       y     -x

8) If A is a square Matrix of order 3x3 and $ is a scalar, then adj($A) is equal

a)$ adj A b) $²adj A c) $³adj A d) $⁴adj A 

9) If A=3     5      B= 1     17

             2     0           0      -1 then |AB| =?

a) 80 b) 100 c) -110 d) 92

10) The inverse of the Matrix 5     -2

                                                   3      1

a)-2/13  5/13 b)1   2 c) 1/11  2/11 d)1  3

    1/13   3/13   -3   5     -4/11 5/11    -2   5

Mg. A- R.2 

1) If A is a singular Matrix of order n then A. (adj A) is equal to

a) a null Matrix b) a row Matrix c) a column Matrix d) none 

2) If A and B are two matrices and A⁻¹ and B⁻¹ exist, then (AB)⁻¹ is equal to

a) A⁻¹B⁻¹ b) AB⁻¹ c) A⁻¹B d) B⁻¹ A⁻¹ 

3) If A= 3     -5  

             -4      2 then the value of A² - 5A is

a) I b) 14I c) O d) none 

4) If A= 5        6     -3

             -4        3      2

             -4       -7      3 then the co-factors of the elements of second row are:

a) 3,3,11 b) 3,-3,11 c) -39,3,-11 d) 39,-3, 11

5) If A= 1     2 & B= 1    2

              2     3          2    1

              3     4

Then

a) both AB and BA exist 

b) neither AB nor BA exist 

c) AB exists but BA does not exist 

d) AB does not exist but BA exists

6) If A= 2    -1    B= 1        0

             0      1        -1       -1 then (A+ B)² is not equal to

a) A² + AB+ BA+ B² 

b) A² + AB+ BA+ B²I

c) A²I + AB+ BA+ B² 

d) A² + 2AB+ B² 

7) If A be an nx n Matrix and k any scalar, then det kA is equal to

a) k detA b) nᵏdetA c) kⁿdetA d) kn detA

8) If A= 1    2

              3   -5 then A⁻¹ is:

a)-5  -2 b) -5/11 -2/11 c) 5/11 2/11 d)5  2

   -3   1      -3/11  1/11      3/11-1/11    3 -1

9) If A= -1    2 & B= 5

               2   -1          7 and AX= B, then X is

a) 19   17 b) 19/3  c) 19/3  17/3 d)  19

                      17/3                               17

10) If A≠ O and B≠O are two matrices such that AB= O, then which of the following is correct?

a) detA= 0 or det B= 0

b) detA= 0 and det B= 0

c) detA=det B ≠ 0    d) none 

Mg. A- R.3

1) If A is a square Matrix of order 3x3 and k is a scalar, then adj(kA) is equal to which of the following?

a)k adj A b)k² adj A c) k³ adj A d)2k adj A

2) If A=  0      1     2

                1      2     3

                3      1     1 and it's inverse B=[bᵢⱼ], then the element b₂₃ of Matrix B is

a) -1     b) 1   c) -2   d) 2

3) If A=  a₁₁    a₁₂     a₁₃   B= 1     2     3

               a₂₁    a₂₂     a₂₃        2     3     4

               a₃₁    a₃₂     a₃₃        3     4     5

 C= -1    -2        D= -4     -5    -6

       -2     0               0      0     1

        0    -4

with the relation A= BCD, then the value of a₂₂ is

a) 40     b) -40   c) -20   d) 20

4) If A= 1      2 & B= 3       8

              3      4          7       2 with the relation 2X+ A = B, then the Matrix X is:

a) 2   -6 b) 1   -3 c) 1     3   d) 2    -6

    4   -2      2   -1      2   -1        4     -2

5) If A= a       2

              2       a and |A³|= 125, then a is

a) ±2 b) ±3 c) ±5 d) 0

6) The inverse Matrix 1   0    0

                                      a   1    0   is

                                      b   c    1

a) 1        0        0        b) 1      0      0

    -a       1         0           -a      1      0

   ac-b   -c         1           -b     -c      1

c) 1      -a     ac- b     d) 1      0      0

    0       1         -c          -a      1       0

    0       0          1          ac     b       1 7) 

7) if A=|aᵢⱼ| and Aᵢⱼ denotes the co-factors of aᵢⱼ , then which of the following is not equal to zero?

a) a₃₁A₁₁+ a₃₂A₁₂ + a₃₃A₁₃

b) a₁₁A₃₁ + a₁₂A₃₂+ a₁₃A₃₃

c) a₂₁A₂₁ + a₂₂A₂₂+ a₂₃A₂₃ 

d) a₃₁A₂₁ + a₃₂A₂₂+ a₃₃A₂₃

8) The minor of (-4) and 9 and the co-factor of (-4) and 9 in    -1     -2      3

                                         -4     -5     -6

                                         -7      8      8 are

a) 42,3; -42,3.          b) -42,-3; 42,-3

c) 42,3; -42,-3          d) 42,3;   42,3

9) If A= 0      3   & kA= 0      4a

             4       5             3b     60 then the value of k, a and b are respectively ---

a) 12,9,6   b) 9,12,6 c) 12,9,12 c) 16,12,9

10) If the Matrix A satisfies the equation BA = C as B= 1      3    C= 1     1

                        0      1         0     -1 then which of the following represents A ?

a) 1   4 b) 1    4 c) 1    -4 d) 1    -2

   -1   0      0   -1     1     0      0    -1

Mg. A- R.4

1) For any Matrix A, if A⁻¹ exists then which of the following is not true?

a) (A⁻¹)⁻¹= A              b) (A')⁻¹ = (A⁻¹)'

c) (A²)⁻¹= (A⁻¹)²        d) |A⁻¹|= |A|⁻¹

2) If  I is the unit Matrix of order 10x10, then the determinant of I is equal to --

a) 10 b) 1/10 c) 9 d) 1

3) If A and B are two square matrices of the same order, then (A+ B)² is

a) A²- 2AB + B²       b) A²- AB - BA + B²  

c) A²- 2BA + B²       d) A²+ 2AB + B²  

4) For how many values of x in the closed interval [-4,-1], the Matrix

3         -1+x           2

3            -1          x+2

x+3        -1             2 is singular?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

5) If A= 7    1    2 & B= 3 & C= 4

              9    2    1          4          2

                                       5

Find the value AB+ C.

a) 43        b) 43           c) 45        d) 44

    44             45                44            45

6) If A= 3      4

              5      7 then the value of A(adj A) is equal to

a) I       b) |A|      c) |A|. I        d) none 

7) If x+ y          2x + z    = 4       7

        x - y          2z+ w       0     10 then the values of x, y and z. 

a) 2,3,1,2 b) 2,2,3,4 c) 3,3,0,1 d) 2,2,4,3

8) The Matrix 2        k       -4

                       -1        3        4

                        1       -2       -3 is non-singular if

a) k≠ 2 b) k≠ 3 c) k≠ -3 d) k ≠ -2 

9) If A is an invertible Matrix, then the value of det(A⁻¹) is

a) 0 b) I 1/det A d) det A

10) If A= 3      2 & AC = 19      24

                4      5              37      46 then Matrix C is:

a) 3  4 b) 3     5 c) 5      4 d) 3     2

    5   6     4     6      2      6     6     4

Mg. A - R.5 

1) Let A=[5] be a Matrix of order 1x1. Then adjA is equal to

a) [1] b) [5] c) [0] d) 1

                                  5

2) If A² - A + I =0 then the inverse of A is

a) A - I b) A + I  c) A d) I - A

3) If A= 1     1

              1     1 then Aⁿ for all n ∈ℕ is: 

a) 2ⁿA b) 2ⁿ⁻¹A c) 2ⁿ⁺¹A d) nA 

4) Let A and B are two matrices such that AB= A and BA = B. Then A² is equal to -

a) O b) I c) A d) B

5) If A= 4    2

            -1    1 then the value of (A - 2I)(A - 3) is 

a) A b) I c) O d) 4I

4) If A= 1   -2    & B= a     1

              2   -1             b    -1 and (A+ B)² = A²+ B², then the values of a and b are

a) 4,1 b) 1,4 c) 0, 4 d) 2, 4

5) Let A= a   0 & B= 1      0

                 1   1          5      1 if A² = B, then the value of a is.

a) 1 b) -1 c) 4 d) no real value of a

6) The matrix 0    7     4

                       -7    0    -5

                       -4    5     0 is

a) symmetric b) skew-symmetric c) non singular d) orthogonal

7) Let A= 1    -1   1                   4    2     2

                 2     1   3   & 10B = -5    0     a

                 1     1   1                  1    -2     3 if B is the inverse of the Matrix A, then the value of a

a) 2      b) -1    c) -2      d) 5

8) If A= 0    0    -1

              0   -1     0

             -1    0     0 then the only correct statement about the Matrix A is --

a) A⁻¹does not exist          b) A= (-1)I

c) A is a zero Matrix.     d) A² = I

9) If A= -1    2 & B= 3    -2

               3    4          1     5 then find a Matrix C such that 2A +B +C is the zero Matrix of order 2. 

a) -1    -2   b) 1  -2  c) -1    -2  d) 1     2

     -7  -13      -7  13      7    13     7    13

10) If 2A+ B= 2    3 & 3B - 2A = 10    1

                        5    1                      3     5 Find the Matrix A and B.

a) -1/2      2       & 3       1

     3/2  -1/4          2      3/2

b) -1/2      2       & 3       -1

     3/2   -1/4         2      3/2

c) 1/2      2       & -3       1

     3/2  -1/4          2      3/2

d) 1/2      2       & 3        1

     3/2  -1/4          2     -3/2

Mg. A- R.6

                                                               

1) If A is and m x n matrix and B is n x p matrix does AB exists? If yes, write its order. 

a) Yes,.mxp b) yes, mx n c) yes,mx q d) n

 2) If A= 2     1     4 and B= 3      -1 

               4     1     5              2       2

                                             1       3 , write the order of AB and BA.

a) 2x2, 3x3 b) 2x3, 3x2 c) 2x4, 3x3 d) 1x1, 2x2 

3) If A= 4       3 and B= - 4

               1     2b               3 Find AB.

a) 7 b) -7 c) 2 d) -2

    2      -2     7      -7

4) If A= 2    -1

             -1     2 and I is the unit Matrix of order 2, then A² is

a) 4A - 3I  b) 3A - 4I  c) A- I  d) A+ I

5) Find the multiplicative inverse of 2    1

                                                              7    4

a) 4   -1 b) 4    -1 c) 4    -7    d) -4    -1

    -7   -2    -7     2      7     2         7     -2

6) If A= 1

              2

              3 write AA'.

a) 1  2  3 b) 1 -2 3 c) -1 2 3 d) -1  -2   -3

     2 4   6     2  4 6       2 4 6       2  4    6

     3 6   9     3  6 9       3 6 9       3  6    9

7) A is a square Matrix such that A³= I; then inverse of A is

a) A² b) A c) A³ d) none

8) Assuming that the sum and products given below are defined, which of the following is not true for Matrices?

a) AB= AC done not imply

b) A+ B = B+ A

c) (AB)' = B' A'

d) AB = O implies A= O or, B= O 

9) Give an example of two non-zero 2 x 2 matrices A and B such that AB= O.

10) If A= 2       3 

                5       7 find A+ A'.

a) 4   8   b) -4    8   c) 4     -8    d) -4     -8

     8  1         8    4        8    14       14      8 

Mg. A- R.8

1) If A= cosx      sinx 

            - sinx          cosx find x satisfying 0< x < π/2 when A+ A'= I

a) π b) π/2 c) π/3 d) π/4 

2) If A=-1    2   & B= 3     -2

              3    4            1      5 then find a Matrix C such that 2A + B+ C is the zero Matrix of order 2.

a) -1   -2 b) 1   -2  c) -1   2   d) 1    2

    -7  -13     7   13       7 13       7   13 

3) Determine two matrices A and B, when

2A+ B= 2     3       & 3B -2A= 10     1

              5     1                          3      5 

3) If A= cosx          -sinx 

              sinx            cosx.   find AA'.

a) 0   1 b) 1    0 c) 0    0 d) 1     1

     0   1     0    0     1    1      1     0

4) If A= 1     0 and B= x       0

             y      5              1       -2 and the relation A+ 2B= I, where I is 2 x 2 unit matrix. find x and y.

a) 0,1   b) 0,-1  c) 0,2  d) 0,-2

5) If A=1     2       B=1       2

             1     2            3      4 determine AB, BA.                                 4     6        3      5

                                       7    10       7     11

6) If A= cosx     sinx & B=  cosy     siny

               sinx     cosx           siny    cosy show that AB= BA 

7) If A= 3    2    5 & B= 1     2 & C= 7     -8

              7   -4    0          2    -1          5      9

                                       3     5

Find the value of AB- C.               15     37

                                                        -6       9 

8) If A= 2    5 & X= x and B= 5

              3    4          y              8 then show from the relation A.X = B that 2x+ 5y = 5 and 3x + 4y= 8.

9) If A= 1       -1

             -1        1 satisfies the matrix equation A²=kA,write the value of k.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) none 

10) If B= 1     -2 & B= 6     0

                1      4          0     6 find A if the relation A.B= C.                            4     2

                                                      -1     1

Mg. A-R.9 

1) If A=   2    -3 & B= 1  5    b & C= 2   4   1

                1     a          0  2   -3          1  -1   5 with the relation AB= C then find a,b

a) 3, 4 b) -3, -4 c) -3, 4 d) 3-, 4 

2) If A=2    3   & B= 1     0

             3  10            0     1 then find (2I - A)(10I - A), Where I is identity Matrix.

a) 9 b) I c) 3 d) 9I

3) If A= 1        1

             1        1 satisfies A⁴= kA, then write the value of k.

a) 0 b) 1 c) 2 d)  -1 e) none 

4).    -1         0          0

If A= 0        -1          0

         0         0         -1 find A². 

5) If A= x       2 and B= 3

                                         4 and the relation AB= 2 find x.

a)1  b) 2 c) -2 d) none

6) If A= 2     3 & B= 3     7

              6     5          4     0 then find (A+ B)².                                          125      100

                                                 100      125

7) If A= [aᵢⱼ] is a 2 x 2 matrix such that aᵢⱼ= i+ 2j, write A.

8) If A= 2     -2                                     2    0

            -3       4 find (-A²+6A).            0    2

9) If A= 1    0                                     6     0

              2    1 then 2A²+4I is .         8     6

10) write matrix A satisfying A+ B= C where B= 2      3 & C = 3       -6

                -1      4          -3        8 

Mg. A- R.10

1) If f(x)= x²+ 2x and A= 1      2

                                           4     -3 find f(A)

                                                         11      0

                                                          0     11

2) if A= [aᵢⱼ] is a square Matrix that aᵢⱼ = i² - j², then write whether A is symmetric or skew symmetric.

3) If A=   1    3

                3    4 then A²- 5A - 2I is

a) 0      b) 1   c) -1  d) 2

4) If A= 3      -2 and B= 1     0

              4      -2              0     1 then find the value of k such that, A²= kA - 2I.

a) 0  b) 1    c) -1   d) -2

5) For any square matrix write whether AA' is symmetric or skew-symmetric.

6) If A= 1     0     1

              0     0     0

              1     0     1 then A² is

a) A b) A' c) 2A d) 2A' 

7)If A= 3    2                                      2     -1

             5   4 then inverse of A is: -5/2 3/2

8) If A=2    3                                      

             5   -2 then inverse of A is: 

a) A b) A' c) A/91 c) A/19

9) If A= [aᵢⱼ] is a skew symmetric matrix, then write the value of ᵢ∑aᵢⱼ 

10) If A= [aᵢⱼ] is a skew symmetric matrix, then write the value of ᵢ∑ ⱼ∑aᵢⱼ .

Mg. A-R.11

1) If A and B are symmetric matrices, then write the condition for which AB is also symmetric.

2) If A= 3     5

              7   -11 then AA⁻¹ is:

a) A b) A⁻¹ c) 0 d) I 

3) If A= 3     5

              7   -11 then A⁻¹A is:

a) A b) A⁻¹ c) 0 d) I 

4) If B is a skew-symmetric matrix, write whether the matrix AB A' is symmetric or Skew-symmetric.

5) Find the values of x and y, if 2A+ B= C where A= 1    3 B= y     0 & C= 5      6

                 0     x      1     2          1      8

6) If x+ 3          4 =    5         4

         y -4        x+ y     3         9 then find x and y.

7) If A is a singular Matrix, then write the value of |A|.

8) For what value of x, the following matrix is singular ?

 5 - x        x+1

    2           4 

9) write the value of the determinant of 

 2       3          4 

2x     3x        4x 

 5       6          8 

10) State whether the matrix 2      3

                                                   6      4 is singular or non-singular. 

Mg. A- R.12

1) find the value of the determinant of

 4200        4201

  4202       4203 

2) find the value of the determinant

    101       102        103

    104       105        106

    107       108        109 

3) Write the value of the determinant

 a       1        b+c

 b       1        c+a 

 c       1        a+b 

4) If A= 0       i & B= 0         1 

              i       1          1         0 find the value of |A|+| B|. 

5) if A= 1          2 & B= 1      0

              3         -1        -1      0 find |AB|.

6)  If A= 1      2 and B= 1       -4 

               3    -1               3      -2 find |AB|.

7) If A=[aᵢⱼ] is a 3x3 diagonal matrix such that a₁₁=11, a₂₂= 2 and a₃₃ = 3, then find |A|.

8) If A=[aᵢⱼ] is a 3x3 scalar Matrix such that a₁₁=2, then write the value of |A|.

9) If I₃ denotes Identity matrix of order 3x3, write the value of its determinant.

10) A matrix A of order 3x3 has determinant 5. What is the value of |3A| ? 

Mg. A- R.13

1) On spending by first row, the value of the determinants of 3x3 square Matrix A=[aᵢⱼ] is a₁₁ C₁₁+ a₁₂C₁₂+ a₁₃ C₁₃, where Cᵢⱼ is the cofactor of aᵢⱼ in A. write the expression for its value on expanding by the second column.

2) let A= [aᵢⱼ] be a square matrix of order 3x3 and Cᵢⱼ denote cofactor of aᵢⱼ in A. If |A|= 5, write the value of a₃₁C₃₁+ a₃₂C₃₂+ a₃₃Ca₃₃. 

3) In question 18, write the value of write the value of a₁₁C₂₁+a₁₂C₂₂ + a₁₃ C₂₃ .

4) Write the value of 

sin 20     - cos 20 

sin 70       cos 70 

5) If a square Matrix satisfying A'. A = I, write the value of |A|. 

6) If A and B are square matrices of the same order such that |A| = 3 and AB= I, then write the value |B|.

7) A is a skew-symmetric of order 3, write the value of |A|. 

8) If A is a square matrix of order 3 with the determinants 4, then write the value of |-A|.

9) if A is square Matrix such that |A|= 2, Write the value of |AA'|.

10) find the value of the determinant

 243     156       300 

  81       52       100

  -3         0           4

Mg. A- R.14 

1) write the value of the determinant of

 2         -3       5

 4         -6      10

 6        -9       15

2) If the matrix 5x         2

                          -10        1 is singular, find the value of x.

3) If A is a square matrix of order n x n such that |A| = K, then write the value of |-A|.

4) find the value of the determinant

 2²       2³        2⁴

 2³       2⁴        2⁵

 2⁴       2⁵        2⁶

5) if A and B are nonsingular matrices of the same order, write whether AB is singular or non-singular.

6) A metrix of order 3 x 3 has determinant 2. What is the value of |A(3I)|, where I is the identity matrix of order 3 x 3.

7) If A and B are square matrices of order 3 such that |A| = -1, |B| = 3, then find the value of |3AB|

8) write the cofactor of a₁₂ in the following metrix 2     -3        5

                             6      0         3

                             1      5        -7

9) If 2x+5        3

       5x+2        9 = 0, find x.

10) Write the adjoint of the matrix 

A= -3        4

       7       -2

Mg. A- R.15

1) If A is square matrix such that A(adj A)= 5I, where I denotes the identity matrix of the same order. Then, find the value of |A|.

2) If A is a square Matrix of order 3 such that |A|= 5, write the value of |adj A|.

3) If A is a square matrix of order 3 such that |adj A|= 64, find |A|.

4) if A is a non-singular Square matrix such that |A|=10, find |A⁻¹|

5) If A, B, C are three non-null square matrices of the same order, write the condition on A such that AB= AC => B= C.

6) If A is a non-singular square Matrix such that A⁻¹= 5        3

                         -2       -1 then find (A')⁻¹.

7) if adj A= 2        3

                    4       -1 and adjoint of

 B= 1          -2

      -3           1 find adj of AB.

8) If A is a symmetric matrix, write whether A' is symmetric or Skew-symmetric.

9) If A is a square matrix of order 3 such that |A| = 2, then write the value of adj(adj A).

10) If A is a square matrix of order 3 such |A|=3, then find the value of |adj (adj A)|.

Mg. A- R.16

80) If A is a square matrix of order 3 such that adj(2A)= k adj(A), then write the value of k.

81) If A is a square matrix, then write the matrix adj(A') - (adj)'.

82) Let A be a 3 x 3 square Matrix such that A(adj A)= 2I, where I is the identity Matrix, write the value of |adj A|.

83) if A is a nonsingular symmetric matrix, write whether A⁻¹ is Symmetric or Skew-symmetric.

84) If A= cosx Sinx

              - sinx cos x and A(adjoint A)= k 0

                        0 k then find the value of k.

85) If A is an invertible Matrix such that |A⁻¹|= 2, find the value of |A|

86) If A is a square Matrix such that A(adj A)= 5 0 0

                  0 5 0

                  0 0 5 then write the value of |adj A|.

87) If A= 2 3

                5 -2 be such that A⁻¹= kA, then find the value of k.

88) Let A be a square matrix such that A² - A + I= O, then write A⁻¹ in terms of A.

89) using cramer's rule write the solution of the system of equations 3x+4y=7; 7x - y= 6.

90) find the inverse of the matrix

 3 -2

-7 5

91) find the inverse of cosx sinx 

                                        -sinx cosx

92) If A= 1 -3

                2 0 write adj A.

93) If A= a b & B = 1 0

                c d 0 1 find adj(AB).

94) If A= 1 0 0 & B= x & C= 1

                0 1 0 y -1

                0 0 1 z 0 with the relation AB= C, then find x,y, z.

95)If A= 1 0 0 & B= x & C= 1

                0 -1 0 y 0

                0 0 -1 z 0 with the relation AB= C, then find x,y and z.

96)If A= 1 0 0 & B= x & C= 1

                0 y 0 -1 0

                0 0 1 z 1 with the relation AB= C, then find x,y and z.

97) If A= 3 -4 0 & B= x  

                9 2 0 y with the relation AB= C, then find x,y.

98) If A= 1 0 0 & B= x & C= 2

                0 0 1 y -1

                0 1 0 z 3 with the relation AB= C, then find x,y, z.

99) If A= 2 4 & B= n & C= 8

                4 3 1 11 with the relation AC= B, then find n.

MULTIPLE CHOICE QUESTIONS

----------*******------------*********--------

 

1) If A= 1 0 0

              0 1 0

              a b -1 then A² is equal to

A) null matrix B) a unit matrix.

C) - A D) A

2) If A= i 0

             0 i, n∈ ℕ, then A⁴ⁿ equal 

A) 0 i B) 0 0 C). 1 0 D) 0 i

     i 0 0 0 0 1 i 0

 

3) If A and B are two Matrices such that AB= A and BA= B, then B² is equals to 

A) B. B) A C) 1 D) 0

4) If AB= A and BA= B, where A and B are square matrices, then 

A) B²= B and A²= A. 

B) B²≠ B and A²= A 

C) A²≠ A and B²= B 

D) A²≠ A and B²≠ B 

5) If A and B are two Matrices such that AB= B and BA= A, then A²+ B² is equal to 

A) 2AB B) 2BA C) A+B. D) AB 

6)

7) if the matrix AB is zero, then 

A) it is not necessary that either A= O or B= O.

B) A= O or B= O C) A= O and B= O 

D) all the above Statements are wrong. 

8) 

9) If A and B are square matrices of order 3, A is non-singular and AB= O, then B is a

A) null matrix. B) singular Matrix 

C) unit Matrix 

D) non singular matrix 

10) If A= n 0 0 and B= a₁ a₂ a₃

                0 n 0 b₁ b₂ b₃

                0 0 n c₁ c₂ c₃ then AB is equals to 

A) B B) nB. C) Bⁿ D) A+ B 

11) If A= 1 a 

                0 1 then Aⁿ (where n ∈ ℕ) equals 

A) 1 na. B) 1 n²a C) 1 na D) n na 

     0 1 0 1 0 0 0 n 

12) If A= 1 2 x and B= 1 -2 y 

                0 1 0 0 1 0

                0 0 1 0 0 1 and AB= I, then x+ y is 

A) 0. B) -1 C) 2 D) none

13) If A= 1 -1 & B=a 1 

                2 -1 b -1 and (A+ B)² = A²+ B², values of a and b 

A) a= 4, b= 1 B) a= 1, b= 4. 

C) a= 0, b= 4 D) a= 2, b= 4 

14) If A= a b 

                c -a is such that A²= I, then 

A) I+ a² + bc= 0 B) I- a² + bc= 0 

C) I- a² - bc= 0. D) I+ a² - bc= 0  

15) If S= [Sᵢⱼ] is a scalar matrix such that sᵢⱼ = k and A is a square matrix of the same order, then AS= SA= ? 

A) Aᵏ B) k+ A C) kA. D) kS 

16) If A is a square Matrix such that A² = A, then (I+A)³ - 7A is equals to 

A) A B) I - A C) I. D) 3A 

17) if a matrix A is both symmetric and skew symmetric, then 

A) A is a diagonal matrix 

B) A is zero matrix. 

C) A is scalar matrix 

D) A is a square matrix  

18) the matrix 0 5 -7 

                        -5 0 11

                         7 -11 0 is 

A) a skew-symmetric matrix 

B) a symmetric matrix 

C) a diagonal matrix.

D) an upper triangular matrix 

19) If a square matrix, then AA is a 

A) skew symmetric matrix 

B) symmetric matrix 

C) diagonal Matrix 

D) none.

20) If A and B are symmetric matrices, then ABA is 

A) symmetric matrix.

B) skew-symmetric matrix 

C) diagonal Matrix 

D) scalar matrix 

21) If A= 5 x 

                y 0 and A= A', then 

A) x= 0, y= 5 B) x+y= 5 

C) x= y. D) none 

22) If A= 3 x 4 matrix and B is a matrix such that A'B and BA' are both defined. then, B is of the type 

A) 3x4. B) 3x3 C) 4x4 D) 4x3  

23) If A= [aᵢⱼ] is a square matrix of even order such that aᵢⱼ = i² - j³, then 

A) A is a skew-symmetric matrix and |A|= 0 

B) A is symmetric metrix and |A| is a square. 

C) A is a symmetric Matrix and |A|= 0 D) none. 

24) If cosx - sinx 

          sin x cosx then A'+ A= I, if 

A) x=nπ, n ∈ Z 

B)x=(2n+1)π/2 , n ∈ Z 

C) x= 2nπ +π/3, n ∈ Z. D) none 

25) If A= 2 0 -3

                4 3 1

               -5 7 2 is expressed as the sum of a symmetric and skew symmetric matrix, then the symmetric matrix is 

A) 2 2 -4 B) 2 4 -5

     2 3 4 0 3 7

    -4 4 2. -3 1 2 

C) 4 4 -8 C) 1 0 0 

     4 6 8 0 1 0 

    -8 8 4 0 0 1 

26) Iut of the given matrices, choose that matrix which is a scalar Matrix: 

A) 0 0 B) 0 0 0 C) 0 0 D) 0 

     0 0. 0 0 0 0 0 0 

27) the number of all possible matrices of order 3x3 with entry 0 or 1 is 

A) 27 B) 18 C) 81 D) 512 

28) Which of the given values of x and y make the following pairs of matrices equal ?3x+7 5 = 0 y-2 

                             y+1 2 - 3x 8 4 

A) x= -1/3, y= 7 

B) x= 7, y= 2/3 

C) x= -1/3, y= -2/5 

D) not possible to find. 

29) If A= 0 2 and kA= 0 3a

                3 -4 2b 24

then the values of k, a, b are respectively 

A) -6,-12,-18 B) -6,4,9 

C) -6,-4,-9. D) -6,12,18 

30) If I= 1 0 and J= 0 1 

               0 1 -1 0 and B= cosx sinx 

     -sinx cosx then B equals 

A) I cosx + J sinx.

B) I sinx + J cosx  

C) I cosx - J sinx 

D) - I cosx + J sinx 

31) The trace of the matrix 

A= 1 -5 7

      0 7 9

     11 8 9 is 

A) 17. B) 25 C) 3 D) 12 

32) If A=[aᵢⱼ] is a scalar matrix of order n x n such that aᵢⱼ = k, for all i, then trace of A equal to

A) nk. B) n+ k C) n/k D) none 

33) If A and B are square matrices of order 2, then det(A+B)= 0 is possible only when

A) det(A+B)= 0 or det(B)= 0 

B) det(A)= 0 + det(B)= 0 

C) det(A)= 0 and det(B)= 0 

D) A'+ B= O.

34) which of the following is not correct in a given determinant of A, where A=[aᵢⱼ]₃ ₓ ₃.

A) Order of minor is less than order of the det (A) 

B) minor of an element can never be equal to cofactor of the same element.

C) Value of a is determinant is obtained by multiplying elements of a row or column by corresponding cofactors 

D) order of minors and cofactors of the elements of A is same 

35) Let x 2 x 

             x² x 6  

             x x 6 

Then the value ofax⁴+bx³+cx²+dx+e is equal to 

A) 0 B) -16 C) 16 D) none.

36) the value of the determinant. a² a 1

     cos nx cos(n+1)x cos(n+2)x 

    sin nx sin(n+1)x sin(n+2)x is independent of 

A) n. B) a C) x D) none 

37) If ∆₁= 1 1 1 & ∆₂= 1 bc a 

                  a b c 1 ca b 

                  a² b² c² 1 ab c then A) ∆₁ +∆₂= 0. B) ∆₁+2∆ = 0 C) ∆₁+ ∆₂ D) none 

38) Dₖ = 1 n n 

               2k n²+n+2 n²+n 

              2k-1 n² n²+n+2 and ⁿₖ₌₁∑ Dₖ = 48, then n equals 

A) 4. B) 6 C) 8 D) none 

39) Let x²+ 3x x-1 x+3 

              x+1 -2x x-4 

              x-3 x+4 3x 

= ax⁴ + bx³+ cx² + dx+ e be an identity in x, where a, b, c, d, e are independent of x. Then the value of e is 

A) 4 B) 0. C) 1 D) none 

40) using the factor theorem it is found that a+b, b+c and c+a are three factors of the determinant 

  -2a a+ b a+ c 

 b+a -2b b+c 

 c+a c+b -2c The other factor in the value of the determinant is 

A) 4. B) 2 C) a+b+c D) none 

41) if a,b,c are distinct, then the value of x satisfying 

   0 x²-a x³- b

 x²+a 0 x²+ c = 0 is

x⁴+ b x- c 0   

A) c B) a C) b D) 0 

42) 

43) 

44) 

45)

46) The value of 5² 5³ 5⁴

                             5³ 5⁴ 5⁵ 

                             5⁴ 5⁵ 5⁶ is 

A) 5² B) 0 . C) 5¹³ D) 5⁹ 

47) 

48) 

49) 

50) If A is an invertible matrix, then which of the following is not true

A) (A²)⁻¹= (A⁻¹)² B) |A⁻¹|= |A⁻¹|.  

C) (A')⁻¹= (A⁻¹)' D) |A| ≠ 0 

51) If A is an invertible matrix of order 3, then which of the following is not true

A) |adj A|= |A|² B) (A⁻¹)⁻¹= A

C) If BA= CA, then B= C, where B and C are square matrices of order 3.

D) (AB)⁻¹= B⁻¹A⁻¹, where B= [bᵢⱼ]₃ ₓ ₃ and |B| ≠ 0

52) If A= 3 4 & B= -2 -2

                2 4 0 -1 then (A+B)⁻¹=

A) is a skew-symmetric matrix

B) A⁻¹+ B⁻¹ C) does not exist D) n.

53) If S= a b 

                c d then adj A is 

A) -d -b B)d -b C) d b D) d c

     -c a -c a. c a b a

54) If A is a singular matrix, then adj A is

A) non-singular B) singular.

C) symmetric D) not defined

55) If A, B are two n x n non-singular matrices, then

A) AB is non-singular.

B) AB is singular

C) (AB)⁻¹= A⁻¹B⁻¹

D) (AB)⁻¹ does not exist

56) If A= a 0 0 

                0 a 0 

                0 0 a then the value of |adj A| is 

A) a²⁷ B) a⁹ C) a⁶. D) a² 

57) 1 2 -1

If A= -1 1 2

           2 -1 1 then det(adj(adj A)) is

A) 14⁴. B) 14³ C) 14² D) 14

58) If B is a non-singular matrix and A is a square matrix, then det(B⁻¹ AB) is equal to 

A) Det (A⁻¹) B) Det (B⁻¹)

C) Det (A). D) Det (B) 

59) For any 2 x 2 matrix, if A(adj A) = 10 0

     0 10 then |A| is equal to

A) 20 B) 100 C) 10. D) 0 

60) If A⁵ = O such that Aⁿ for 1≤n ≤ 4, then (I - A)⁻¹ equals 

A) A⁴ B) A³ C) I+ A D) none.

61) If A satisfies the equation x³ - 5x³ + 4x + K= 0, then A⁻¹exists if

A) K≠ 1 B) K≠2 C) K≠-1 D) none.

62) If for the matrix A, A³ = I, then A⁻¹= 

A) A². B) A³ C) A D) none

63) If A and B are square matrices such that B= - A⁻¹BA, then (A+ B)² 

A) O. B) A²+ B². C) A²+2AB+B² D) A+B

64) 2 0 0

       0 2 0

       0 0 2 Then A⁵ is

A) 5A B) 10A C) 16A. D) 32A 

65) For non-singular square matrix A, B and C of the same order (AB⁻¹C)= 

A) A⁻¹BC⁻¹ B) C⁻¹B⁻¹A⁻¹

C) CBA⁻¹ D) C⁻¹BA⁻¹.

66) 5 10 3

the matrix -2 -4 6

                    -1 -2 b is a singular matrix, if the value of b= 

A) -3 B) 3 C) 0 D) non-existent.

67) If d is the determinant of a square matrix A of order n, then the determinant of its adjoint is

A) dⁿ B) dⁿ⁻¹. C) dⁿ⁺¹ D) d 

68) if A is a matrix of order 3 and |A| = 8, then |adj A|=

A) 1 B) 2 C) 2³ D) 2⁶.

69) If A² - A + I= 0, then the inverse of A is.

A) A⁻² B) A+ I C) I - A. D) A - I 

70) if A and B are invertible matrices, which of the following statement is not a correct.

A) adj A= |A| A⁻¹  

B) det(A⁻¹)= (A)⁻¹

C) (A+B)⁻¹ = A⁻¹+ B⁻¹.

D) (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

71) If A is a square Matrix such that A² = I, then A⁻¹ is equal to

A) A+ I B) A. C) 0 D) 2A 

72) Let A= 1 2 & B= 1 0 

                    3 -5 0 2 and X be a matrix such that A= BX, then X is equal to

A) 1 2 B) -1 2 C) 2 4 

     3 -5. 3 5 3 -5 D) n 

73) If A= 2 3

                5 -2 be such that A⁻¹ = kA, then k equal to

A) 19 B) 1/19. C) -19 D) -1/19

74) If A= 1/3 1/3 2/3 

                  2 1 -2 

                   x 2 y is orthogonal, then x+y= 

A) 3 B) 0 C) -3. D) 1

75) if A= 1 0 1

                0 0 1

                a b 2 then aI + bA + 2A² is 

A) A B) -A C) ab A D) none .

76) If A= 1 - tan x & B= 1 tanx 

           tanx 1 -tanx 1 and C= a - b 

              b a and relation of A B⁻¹= C then

A) a=1, b= 1

B) a=cos 2x , b= sin 2x.

C) a=sin 2x, b= cos 2x D) n 

77) If a matrix A is such that 3A³ + 2A² + 5A + I= 0, then A⁻¹ is 

A) -(3A² + 2A + 5)

B) (3A² + 2A + 5)

C) (3A² - 2A - 5) D) none .

78) If A is an invertible Matrix, then det A⁻¹ is equal to

A) det(A) B) 1/det(A). C)1 D) n

79) If A= 2 -1

                3 -2 then Aⁿ= 

A) A= 1 0

           0 1 if n is an even natural number.

B) A= 1 0

           0 1 if n is an odd natural number

C) A= -1 0

            0 1 if n belongs to N

D) none

If B is a symmetric matrix, write whether the matrix AB A' is symmetric or Skew-symmetric. 

26) If A is a skew-symmetric and n ∈ ℕ such that (Aⁿ)ᵀ = K Aⁿ, write the value of K.

27) If A is a symmetric matrix and n∈ ℕ, write whether Aⁿ is symmetric or Skew-symmetric or neither of these two.

28) if A is a symmetric matrix and n is an even natural number, write whether Aⁿ is symmetric or Skew-symmetric or neither of these two.

29) If A is a skew-symmetric matrix and n is an odd natural number, write whether Aⁿ is symmetric or Skew-symmetric or neither of these two.

30) If A and B are symmetric matrices of the same order, write whether AB - BA is symmetric or Skew-symmetric or neither of these two.

31) write a square matrix which is both symmetric as well as skew symmetric.